Определения функциональной последовательности и функционального ряда

Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной и обозначается: .

Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит от значения . Поэтому функциональная последовательность своим пределом будет также иметь функцию, зависящую от , т.е. .

Опр.2. Функция называется предельной функцией последовательности .

Теперь нас будут интересовать не только существование предела при каждом отдельном значении , но и функциональные свойства предельной функции .

Опр.3. Рассмотрим ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной , заданной в области :

.

Такой ряд называется функциональным рядом.

Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении функция принимает числовое значение. Поэтому при каждом из X функциональный ряд превращается в числовой ряд.

Пусть дан функциональный ряд и он сходится при каждом фиксированном из, тогда сумма такого ряда представляет собой некоторую функцию от переменной x: . Сумма для функционального ряда определяется также как и для числового: . Здесь - частичная сумма функционального ряда n-го порядка

.

Опр.4. Множество всех значений x, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Пример №1. Найти область сходимости ряда

.

Решение. Применим признак Д`Аламбера абсолютной сходимости функционального ряда. Имеем:

Следовательно, при данный ряд сходится абсолютно, а при расходится.

Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при и .

При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды:

которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно.

Окончательно получаем, что на отрезке [-1,1] заданный функциональный ряд абсолютно сходится.

Образование, педагогика, воспитание:

Технология развития познавательной активности учащихся на уроках биологии
В качестве примера по выявлению педагогических условий развития познавательной активности учащихся на уроках биологии представлены 2 конспекта урока, проведенных нами в 8 «А» классе лицея №3 города Оренбурга. Нами взяты конспекты именно этих уроков, так как здесь четко прослеживаются педагогические ...

Игры и упражнения для развития речи и ознакомления с окружающим
Для успешного развития детей важно, чтобы они с детства приобрели жизненно необходимые сведения об окружающих их предметах и явлениях. На втором году жизни, когда дети свободно передвигаются, они постоянно сталкиваются с различными предметами, им нужно иметь некоторые представления о свойствах и на ...

Воздействие подвижных игр с элементами спорта на развитие двигательных способностей детей дошкольного возраста
Исследования сенсорных систем различной модальности: зрения, слуха, тактильности — показали, что представители игровых видов спорта занимают ведущие места по показателям, характеризующим улучшение функционального состояния сенсорных систем. Игры с элементами спорта отмечаются большим разнообразием ...