Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной и обозначается: .
Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит от значения . Поэтому функциональная последовательность своим пределом будет также иметь функцию, зависящую от , т.е. .
Опр.2. Функция называется предельной функцией последовательности .
Теперь нас будут интересовать не только существование предела при каждом отдельном значении , но и функциональные свойства предельной функции .
Опр.3. Рассмотрим ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной , заданной в области :
.
Такой ряд называется функциональным рядом.
Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении функция принимает числовое значение. Поэтому при каждом из X функциональный ряд превращается в числовой ряд.
Пусть дан функциональный ряд и он сходится при каждом фиксированном из, тогда сумма такого ряда представляет собой некоторую функцию от переменной x: . Сумма для функционального ряда определяется также как и для числового: . Здесь - частичная сумма функционального ряда n-го порядка
.
Опр.4. Множество всех значений x, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Пример №1. Найти область сходимости ряда
.
Решение. Применим признак Д`Аламбера абсолютной сходимости функционального ряда. Имеем:
Следовательно, при данный ряд сходится абсолютно, а при расходится.
Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при и .
При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды:
которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно.
Окончательно получаем, что на отрезке [-1,1] заданный функциональный ряд абсолютно сходится.
Образование, педагогика, воспитание:
Роль дидактической игры в развитии умственных способностей младших
школьников
Младший школьный возраст называют вершиной детства. Ребенок сохраняет много детских качеств – легкомыслие, наивность, взгляд на взрослого снизу вверх. Но он уже начинает утрачивать детскую непосредственность в поведении, у него появляется другая логика мышления. Учение для него – значимая деятельно ...
Методы, способствующие развитию познавательной активности учащихся на
уроках биологии
Степень активности учащихся является реакцией, методы, и приемы работы преподавателя являются показателем его педагогического мастерства. Активными методами обучения следует называть те, которые максимально повышают уровень познавательной активности школьников, побуждают их к старательному учению. ...
Технология развития познавательной активности учащихся на уроках биологии
В качестве примера по выявлению педагогических условий развития познавательной активности учащихся на уроках биологии представлены 2 конспекта урока, проведенных нами в 8 «А» классе лицея №3 города Оренбурга. Нами взяты конспекты именно этих уроков, так как здесь четко прослеживаются педагогические ...