Определения функциональной последовательности и функционального ряда

Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной и обозначается: .

Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит от значения . Поэтому функциональная последовательность своим пределом будет также иметь функцию, зависящую от , т.е. .

Опр.2. Функция называется предельной функцией последовательности .

Теперь нас будут интересовать не только существование предела при каждом отдельном значении , но и функциональные свойства предельной функции .

Опр.3. Рассмотрим ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной , заданной в области :

.

Такой ряд называется функциональным рядом.

Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении функция принимает числовое значение. Поэтому при каждом из X функциональный ряд превращается в числовой ряд.

Пусть дан функциональный ряд и он сходится при каждом фиксированном из, тогда сумма такого ряда представляет собой некоторую функцию от переменной x: . Сумма для функционального ряда определяется также как и для числового: . Здесь - частичная сумма функционального ряда n-го порядка

.

Опр.4. Множество всех значений x, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Пример №1. Найти область сходимости ряда

.

Решение. Применим признак Д`Аламбера абсолютной сходимости функционального ряда. Имеем:

Следовательно, при данный ряд сходится абсолютно, а при расходится.

Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при и .

При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды:

которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно.

Окончательно получаем, что на отрезке [-1,1] заданный функциональный ряд абсолютно сходится.

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие предметно-развивающий среды и ее влияние на развитие игры-драматизации в старшем дошкольном возрасте
Проблема среды рассматривалась в трудах М.Я. Басова, П.П. Блонского, А.Б. Залкина и других. Уже в 1927 году ставится вопрос о роли среды в процессе развития ребенка на первом педагогическом съезде, где были сделаны следующие выводы: Среда является лишь фактором, содействующим процессу развертывания ...

Комплекс упражнений для управления обучением самостоятельному чтению художественных текстов учащихся старших классов и организация контроля
Домашнее самостоятельное чтение и задания связанные с ним дают большие возможности для интеллектуального развития учащихся и повышения мотивации. Самостоятельную работу учащихся с иноязычным текстом следует сделать мотивированной, целенаправленной, управляемой, а процесс контролируемым самими учащи ...

История возникновения игр-драматизаций в практике дошкольного образования
В истории развития педагогической мысли игра человеческого общества переплеталась с культовым поведением, магией и религией, была тесно связана со спортом, военными и иными тренировками, а также с искусством. Философы, этнографы, культурологи, психологи, педагоги, социологи разработали ряд положени ...