Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на
, и последовательность их производных
равномерно сходятся на
, тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций
, т.е.
, непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство:
или
.
Доказательство
Обозначим через предельную функцию последовательностей функций
:
.
По условию теоремы равномерно сходится к предельной функции на
.
На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на
, следовательно, она будет интегрируема на
, т.е. существует
, он будет равен
(на основании теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей).
По свойству определенного интеграла: , правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства:
(на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей) и видно, что функция
дифференцируема для
.
Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Значит, функция непрерывна
.
В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на , то она на нем интегрируема, т.е. существует
. Следовательно, функция
непрерывна в каждой точке
.
Из пунктов 4),
5), и 6) следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке.
Теорема доказана [14].
Следствие. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на
и функциональные ряды:
равномерно сходятся на
. Тогда сумма функционального ряда
непрерывно дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство:
=
(т.е. допустимо почленное дифференцирование у такого функционального ряда).
Доказательство
Обозначим предел частичных сумм
, т.е.
для функционального ряда
. По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций
. На основании только что доказанной теоремы и функция
непрерывно дифференцируема, т.е.
. Последнее равенство можно переписать по-другому:
Образование, педагогика, воспитание:
Система образования Ирландии
В Ирландии действует более 3000 начальных, свыше 800 средних, более 150 языковых школ, 14 технологических институтов, несколько частных педагогических и бизнес-колледжей, семь университетов. Все учебные заведения контролируются на государственном уровне специальными органами, которые следят за соот ...
Методика обучения английскому языку как второму иностранному
разработанная с учетом результатов исследования
Английский язык, как второй иностранный язык, изучается на базе углубленного изучения французского или немецкого языка языка с первого класса. Изучение начинается с шестого класса, когда у учеников уже сформированы навыки и умения на первом иностранном языке. В течение шести лет учащиеся имеют два ...
Упражнения на развитие подвижности и гибкости рук
1. «Бодание» кулачками. Ребенок сжимает пальцы рук в кулачки, затем крепко прижимает их друг к другу, как будто два кулачка «бодаются». Повторяют упражнение несколько раз. 2. «Проверка сцепления». Ребенок сцепляет пальцы «в замок»: правый и левый кулачки чуть-чуть раскрывает и «вкладывает» друг в д ...