Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на , и последовательность их производных равномерно сходятся на , тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций , т.е. , непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство:
или
.
Доказательство
Обозначим через предельную функцию последовательностей функций : .
По условию теоремы равномерно сходится к предельной функции на .
На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на , следовательно, она будет интегрируема на, т.е. существует , он будет равен (на основании теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей).
По свойству определенного интеграла: , правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства: (на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей) и видно, что функция дифференцируема для .
Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Значит, функция непрерывна .
В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на , то она на нем интегрируема, т.е. существует . Следовательно, функция непрерывна в каждой точке .
Из пунктов 4),
5), и 6) следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке.
Теорема доказана [14].
Следствие. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на и функциональные ряды: равномерно сходятся на . Тогда сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство:
=
(т.е. допустимо почленное дифференцирование у такого функционального ряда).
Доказательство
Обозначим предел частичных сумм , т.е. для функционального ряда . По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций . На основании только что доказанной теоремы и функция непрерывно дифференцируема, т.е. . Последнее равенство можно переписать по-другому:
Образование, педагогика, воспитание:
Этапы формирования грамматического строя речи у детей. Основные трудности и
ошибки
Усвоение речи ребенком - это сложный процесс, который в своем развитии проходит ряд стадий: от зачаточного, аморфного использования отдельных языковых явлений до полного овладения языковыми нормами. Первой стадией в усвоении речи является развитие у ребенка понимания обращенной речи (пассивная речь ...
Структура педагогической деятельности
Педагогическая деятельность имеет те же характеристики, что и любой другой вид человеческой деятельности. Это прежде всего целеположенность, мотивированность, предметность. Специфической характеристикой педагогической деятельности, по Н.В. Кузьминой, является ее продуктивность. Различают пять уровн ...
Формирование интереса у младшего школьников на интегрированных уроках изобразительного
искусства
Использование различных видов работы на интегрированных уроков поддерживает внимание учеников на высоком уровне, что позволяет говорить о развивающей эффективности таких уроков. Это могут быть уроки изобразительного искусства с привлечением учебного материала смежных предметов а так же проведение, ...