Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на , и последовательность их производных равномерно сходятся на , тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций , т.е. , непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство:
или
.
Доказательство
Обозначим через предельную функцию последовательностей функций : .
По условию теоремы равномерно сходится к предельной функции на .
На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на , следовательно, она будет интегрируема на, т.е. существует , он будет равен (на основании теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей).
По свойству определенного интеграла: , правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства: (на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей) и видно, что функция дифференцируема для .
Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Значит, функция непрерывна .
В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на , то она на нем интегрируема, т.е. существует . Следовательно, функция непрерывна в каждой точке .
Из пунктов 4),
5), и 6) следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке.
Теорема доказана [14].
Следствие. Пусть функции непрерывно дифференцируемы на и функциональные ряды: равномерно сходятся на . Тогда сумма функционального ряда непрерывно дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство:
=
(т.е. допустимо почленное дифференцирование у такого функционального ряда).
Доказательство
Обозначим предел частичных сумм , т.е. для функционального ряда . По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций . На основании только что доказанной теоремы и функция непрерывно дифференцируема, т.е. . Последнее равенство можно переписать по-другому:
Образование, педагогика, воспитание:
Роль дидактической игры в развитии умственных способностей младших
школьников
Младший школьный возраст называют вершиной детства. Ребенок сохраняет много детских качеств – легкомыслие, наивность, взгляд на взрослого снизу вверх. Но он уже начинает утрачивать детскую непосредственность в поведении, у него появляется другая логика мышления. Учение для него – значимая деятельно ...
Система образования Ирландии
В Ирландии действует более 3000 начальных, свыше 800 средних, более 150 языковых школ, 14 технологических институтов, несколько частных педагогических и бизнес-колледжей, семь университетов. Все учебные заведения контролируются на государственном уровне специальными органами, которые следят за соот ...
Психолого-педагогические условия развития общения со сверстниками у детей
старшего дошкольного возраста
Дошкольный возраст, по мнению А. Н. Леонтьева, - это период первоначального фактического склада личности. Именно в это время происходит становление основных личностных механизмов и образований. Развиваются тесно связанные друг с другом эмоциональная и мотивационная сферы, формируется самосознание. ...