Золотая педагогика

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Другое о педагогике » Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе » Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

Страница 1

Теорема 2. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы 0, N, , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство

1) Составим разность частичных сумм функционального ряда :

.

2) Если будут выполняться неравенства: , то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится на множестве Х. А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х.

Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса)

Теорема 3. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве Х.

Доказательство:

Пусть выполняются все условия теоремы.

Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, т.е. или .

Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид:

По условию теоремы выполняется неравенство: . Поэтому, при выполняется и такое неравенство: .

Если , то неравенство примет вид: (с учетом пункта 2). По свойству транзитивности - это остаток положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при . Значит, функциональный ряд будет сходиться по свойству рядов. Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится. Значит, функциональный ряд сходится.

Страницы: 1 2

Образование, педагогика, воспитание:

Опытно-экспериментальная работа по обучению самостоятельному чтению иноязычных художественных текстов учащихся старших классов
Разработанная нами научно-обоснованная модель обучения учащихся самостоятельному чтению художественных текстов лингвострановедческого содержания была апробирована в ходе опытно-экспериментальной работы в 10 классе школы №.28 Основная цель - проверка выдвинутой гипотезы исследования и определение ст ...

Анализ результатов коррекции нарушений графомоторных навыков у детей младшего школьного возраста с нарушением интеллекта
После проведения коррекционной работы по устранению нарушений графомоторных навыков, нами была проведена повторная диагностика уровня сформированности графомоторных навыков у детей младшего школьного возраста с нарушением интеллекта. В исследовании принимали участие те же ученики второго класса с и ...

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов
Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке . Доказательство. Пусть - частичная сумма функционального ряда. В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняе ...

Навигация по сайту

© 2024 Copyright www.ecsir.ru