Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Опр.5. Последовательность функций равномерно сходится на множестве Х к предельной функции , если

.

Опр.6. Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция , в которой она равномерно сходится на множестве X. Обозначение:

.

Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной последовательности

Перепишем неравенство опр.5 в виде двойного неравенства:

.

Это означает, что график функций целиком располагается в полосе шириной , и функции и получены смещением функции вверх и вниз на величину .

Рис.1.

Понятие равномерной сходимости естественным образом переносится и на функциональные ряды.

§4. Определения равномерной сходимости функциональных рядов

Опр.7. Если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится к функции на множестве X, то ряд равномерно сходится на множестве X [14].

Рассмотрим определение равномерной сходимости функционального

ряда на некотором отрезке .

Пусть функциональный ряд сходится на отрезке к функции и - какое-нибудь значение из области сходимости, причем .

Тогда числовой ряд

сходится и его сумма равна , т.е.

=

Представим это равенство в виде

=,

где - n-я частичная сумма; - остаток ряда.

Тогда,

,

.

Как и в случае функциональной последовательности, для функционального ряда номер также зависит как от , так и от значения из области сходимости: . Однако, для функционального ряда число может и не зависеть от , т.е. это число будет одно и тоже для каждого значения , принадлежащего области сходимости.

Опр.8. Функциональный ряд , сходящийся на отрезке , называется равномерно сходящимся, если для любого существует такой номер , не зависящий от , что при , каково бы ни было .

Образование, педагогика, воспитание:

Основные нормативно-правовые акты по правам ребенка в Российском законодательстве
Конституция Российской Федерации и права ребенка Основным правовым актом в нашей стране является принятая 12 декабря 1993 года Конституция Российской Федерации. В главе "Права человека" Конституции закреплены отвечающие духу и букве международных договоров и соглашений, заключенных Россие ...

Функции наглядности в учебнике математики. Методы работы с учебником
Не все виды наглядностей, применяемых иллюстраций имеют одинаковое значение для раскрытия изучаемых закономерностей. На процесс решения математической задачи существенное влияние оказывает схема и предметно-аналитическая картинка, в которой отражены количественные отношения искомого и данного. Выде ...

Влияние игры на формирование элементов учебной деятельности и интеллектуальной подготовки детей
Подготовка к школе органично входит в жизнь ребенка, если взрослые учитывают психологическую специфику дошкольного возраста, не забывая о ведущей роли игры в этом периоде развития личности. Академик А.В.Запорожец писал, что оптимальные педагогические условия для реализации потенциальных возможносте ...