Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Опр.5. Последовательность функций равномерно сходится на множестве Х к предельной функции , если

.

Опр.6. Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция , в которой она равномерно сходится на множестве X. Обозначение:

.

Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной последовательности

Перепишем неравенство опр.5 в виде двойного неравенства:

.

Это означает, что график функций целиком располагается в полосе шириной , и функции и получены смещением функции вверх и вниз на величину .

Рис.1.

Понятие равномерной сходимости естественным образом переносится и на функциональные ряды.

§4. Определения равномерной сходимости функциональных рядов

Опр.7. Если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится к функции на множестве X, то ряд равномерно сходится на множестве X [14].

Рассмотрим определение равномерной сходимости функционального

ряда на некотором отрезке .

Пусть функциональный ряд сходится на отрезке к функции и - какое-нибудь значение из области сходимости, причем .

Тогда числовой ряд

сходится и его сумма равна , т.е.

=

Представим это равенство в виде

=,

где - n-я частичная сумма; - остаток ряда.

Тогда,

,

.

Как и в случае функциональной последовательности, для функционального ряда номер также зависит как от , так и от значения из области сходимости: . Однако, для функционального ряда число может и не зависеть от , т.е. это число будет одно и тоже для каждого значения , принадлежащего области сходимости.

Опр.8. Функциональный ряд , сходящийся на отрезке , называется равномерно сходящимся, если для любого существует такой номер , не зависящий от , что при , каково бы ни было .

Образование, педагогика, воспитание:

Оборудование площадок и инвентарь для игры в хоккей
Для организации игры в хоккей необходимо соответствующее оборудование площадок и инвентарь. О катке нужно позаботится заранее, еще до первых морозов. Площадку необходимо очистить от мусора и выровнять, чтобы при заливке она была ровной и гладкой. Как только ударят морозы, можно заливать каток. Разм ...

Воспитание самостоятельности и активности
Главной задачей интеллектуальной готовности ребенка является формирование у ребенка определенных знаний и умений на основе включения его в активную учебную деятельность. В процессе решения этой задачи педагог использует разнообразные методы и приемы: объяснение, показ, вопросы, оценка и др. Формиро ...

Влияние ИЗО искусства на формирование полноценности речи
Развитие речи учащихся на уроках рассматривается нами с позиции неразрывной связи интеллекта, эмоциональной сферы и личности в целом. Коммуникативно-деятельностный подход к развитию речи, осуществляемый на этих уроках, предполагает учет структуры речевой деятельности, развитие различных ее видов. О ...