Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Опр.5. Последовательность функций равномерно сходится на множестве Х к предельной функции , если

.

Опр.6. Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция , в которой она равномерно сходится на множестве X. Обозначение:

.

Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной последовательности

Перепишем неравенство опр.5 в виде двойного неравенства:

.

Это означает, что график функций целиком располагается в полосе шириной , и функции и получены смещением функции вверх и вниз на величину .

Рис.1.

Понятие равномерной сходимости естественным образом переносится и на функциональные ряды.

§4. Определения равномерной сходимости функциональных рядов

Опр.7. Если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится к функции на множестве X, то ряд равномерно сходится на множестве X [14].

Рассмотрим определение равномерной сходимости функционального

ряда на некотором отрезке .

Пусть функциональный ряд сходится на отрезке к функции и - какое-нибудь значение из области сходимости, причем .

Тогда числовой ряд

сходится и его сумма равна , т.е.

=

Представим это равенство в виде

=,

где - n-я частичная сумма; - остаток ряда.

Тогда,

,

.

Как и в случае функциональной последовательности, для функционального ряда номер также зависит как от , так и от значения из области сходимости: . Однако, для функционального ряда число может и не зависеть от , т.е. это число будет одно и тоже для каждого значения , принадлежащего области сходимости.

Опр.8. Функциональный ряд , сходящийся на отрезке , называется равномерно сходящимся, если для любого существует такой номер , не зависящий от , что при , каково бы ни было .

Образование, педагогика, воспитание:

Уровни образования. Особенности организации и финансирования образования
Образовательная система Республики Кореи включает: дошкольные учреждения и детские сады, срок обучения в которых составляет от одного до трех лет; шестилетние начальные школы; трехлетние средние школы; трехлетние средние школы повышенной ступени; колледжи и университеты со сроком обучения в четыре ...

Проблема сохранения здоровья подрастающего поколения
Конец XX столетия ознаменован целым комплексом глобальных изменений в социальной, экономической и духовной сферах общества, утратой ранее значимых ценностей и возникновением новых, формированием новой философии жизни. Человеческое сообщество захлестывает ускоряющийся динамизм социальных процессов, ...

Этнопедагогические традиционные методы семейного физического воспитания Якутов
В последнее время в Республике Саха (Якутия) сделано немало для сохранения и возрождения духовных, культурных ценностей, накопленных на протяжении жизни многих поколений народа Саха. Традиционный образ жизни, жизнь в гармонии с природой - это не только прошлое человечества, но в значительной его ча ...