Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Комплекс упражнений для управления обучением самостоятельному чтению художественных текстов учащихся старших классов и организация контроля
Домашнее самостоятельное чтение и задания связанные с ним дают большие возможности для интеллектуального развития учащихся и повышения мотивации. Самостоятельную работу учащихся с иноязычным текстом следует сделать мотивированной, целенаправленной, управляемой, а процесс контролируемым самими учащи ...

Выявление интереса у детей подготовительной к школе группы к играм с элементами спорта
Констатирующий этап проводился с 11.09.10 по 12.10.12. Цель: выявить уровень развития быстроты у детей подготовительной к школе группы, уровень физической подготовленности игры в хоккей, выявить интерес у детей данной группы к играм с элементами спорта, выявить место хоккея в работе с детьми седьмо ...

Социальная адаптация ребенка к школе
Первый год обучения в школе - чрезвычайно сложный, переломный период в жизни ребенка. Меняется его место в системе общественных отношений, меняется весь уклад его жизни, возрастает психоэмоциональная нагрузка. На смену беззаботным играм приходят ежедневные учебные занятия. Они требуют от ребенка на ...