Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Констатирующий эксперимент по выявлению уровня сформированности географических представлений у дошкольников
Исследование начато в декабре 2004 года на базе подготовительной группы ДОУ № 2 г. Осинники, использующего в экологическом воспитании дошкольников программы "Юный эколог" С.Н.Николаеваой, и раздел "Ребенок открывает для себя мир природы" программы "Детство". В программ ...

Характеристика современной системы эвристической технологии в образовательном процессе
Внутренняя потребность в творческой деятельности рассматривается психологами и педагогами как объективная закономерность развития личности. По утверждению Г.К. Селевко, творчество - норма детского развития, склонность к творчеству вообще присуща любому ребенку. Однако, принимая участие в творческой ...

Техническое оснащение в современной школе
Доска в образовании не просто инструмент для демонстрации, но и обучения, она породила специальную систему коммуникации, прямую и обратную связь - один учитель может работать с несколькими учениками. Доска это особое - познавательное - окно в мир. Но со временем он стал привычен и должен был преобр ...