Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Методика формирования морфологического строя речи
Ученые-методисты рекомендуют учителям проводить работу над закреплением грамматических моделей систематически, на каждом уроке и обязательно включать в домашние задания во всех классах. Изучение грамматических форм чаще всего выделяется, как самостоятельная часть урока, но в некоторых случаях может ...

Игровые технологии преподавания происхождения сущности государства и права в современной школе
Игра – это определенная целостная реальность, обязательно как-то соотносящаяся с существующим миром («кусок» жизни). В этой реальности действуют и общаются люди. Соответственно, в процессе игры играющие получают опыт. Составляющими опыта могут быть и знания, и эмоциональные впечатления, и навыки, и ...

Цели образования и структурные элементы содержания общего образования
В Концепции модернизации российского образования до 2020 года, исходя из роли образования в развитии российского общества, тенденции мирового развития, определяются, новые социальные требования к системе образования в России. Развивающемуся российскому обществу нужны современно образованные, нравст ...