Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Определения функциональной последовательности и функционального ряда
Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной и обозначается: . Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит о ...

Формирование межкультурной компетенции учащихся как актуальная социально-педагогическая проблема
В основе богатства человеческой цивилизации лежит многообразие культур и языков, которые находятся в постоянной взаимосвязи и взаимодействии. В современном мире проблема взаимопонимания становится очень важной с развитием политических, экономических, научно-технических и культурных связей. Все боль ...

О содержании и форме богослужебных песнопений
В отборе канонических текстов для песнопений Всенощной и Литургии прослеживается ориентация на определённое содержание. Она позволяет выделить отдельные группы жанровых типов интонирования. Ведущее место среди них занимает славление. Славление есть высший, абсолютно бескорыстный вид молитвы, оно яв ...