Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Теоретические основы формирования экологической компетентности будущего инженера
В России уровень смертности населения трудоспособных возрастов от несчастных случаев, отравлений и травм, в том числе производственных, в настоящее время соответствует аналогичным показателям столетней давности, почти в 2,5 раза превышает показатели, сложившиеся в развитых странах, и в 1,5 раза ...

Профессиональная квалификация педагога
Нормативы и сферы деятельности педагога в принципе неизменяемы, а вот его становление — движение от возможного к действительному, начинаясь с предпрофессионального поиска себя, затем профессионального образования и продолжаясь в ходе работы по специальности, — во всех его аспектах индивидуально, т. ...

Применение активных методов обучения на уроках информатике
Тема"Анимация в Power Point" Цель: Воспитательная: воспитание интереса к предмету, воспитание дисциплинированности, правильностью посадки за ПК. Образовательная: проконтролировать уровень усвоения материала по темам: «Основные устройства ПК», «Создание презентации», научить применять аним ...