Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Типы педагогических задач и их характеристика
По временному признаку принято различать три большие группы педагогических задач - стратегические, тактические и оперативные. Стратегические задачи - это своеобразные "сверхзадачи". Они определяют исходные цели и конечные результаты педагогической деятельности. В реальном педагогическом п ...

Вхождение России в болонский процесс
Учебные цели 1. Понимать актуальность присоединения России к единому европейскому образовательному стандарту; 2. Знать основные проблемы вступления России в Болонский процесс; 3. Знать основные направления модернизации отечественной высшей школы в связи с Болонским процессом; Отводимое время – 2 ча ...

Основные требования к отбору задач для занятий элективного курса
Элективный курс по математике представляет собой одну тему, рассмотренную глубоко (например, элективный курс может называться «Комбинаторные задачи», а может состоять из нескольких тем, связанных друг с другом (например, «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей»). Основной курс мат ...