Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Разработка системы проблемных уроков по теме «Основной капитал предприятия»
Разработка проблемных уроков осуществляется на основе методов проблемно-развивающего обучения. Монологический метод Таблица 1 Структурный элемент урока План деятельности преподавателя План деятельности учащихся Время этапа урока 1. Актуализация имеющихся знаний Сообщить учащимся тему урока и план о ...

Дискуссионные методы преподавания происхождения сущности государства и права в современной школе
Большую роль в правовом образовании играют дискуссионные методы. Целесообразно их использовать при обучении праву в старших классах. Дискуссия позволяет развивать самостоятельность школьников, которые высказывают свою точку зрения на проблему. Для проведения дискуссии необходимо сформулировать опре ...

Психолого-педагогические аспекты образования в высшей школе
В настоящее время нет, пожалуй, более спорной проблемы в педагогике и психологии высшей школы, чем проблема воспитания студентов. Вуз служит не только и может быть не столько для передачи специальных знаний, сколько для развития и воспроизведения особого культурного слоя, важнейшим элементом которо ...