Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Экспериментальное исследование предметно-развивающей среды как условия обогащения игры-драматизации в старшем дошкольном возрасте
Анализ психолого-педагогической литературы позволил нам предположить, что организация предметно-развивающей среды может рассматриваться как условие обогащения игры-драматизации детей старшего дошкольного возраста, если педагог: организует предметную среду для развития игровых замыслов детей; создае ...

Практическая деятельность по психофизическому развитию детей В ДОУ
Физическому развитию и здоровью отводятся ведущие позиции, поэтому для создания педагогической оздоровительной системы в любом дошкольном учреждении необходимо придерживаться следующих основных направлений: создать условия для двигательной деятельности, эмоционального, -интеллектуального, социально ...

Методические рекомендации по проведению практических занятий
Концепция целенаправленного развития у студентов готовности к самообразованию приводит к тому, что самостоятельная деятельность студентов, управляемая и организуемая, тесно смыкается с образованием, которое является составной и закономерной частью целостной ситемы учебно-воспитательной работы. В ра ...