Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Общие требования по организации рабочего места учителя
Согласно требованиям ГОСТ 22046-89 мебель для организации рабочего места учителя должна включать: стол с местом для аппаратуры графопроектора и компьютера, тумбу для принтера, стул, классную доску. Современная школа предъявляет к оснащению рабочего места учителя новые требования. Это автоматизирова ...

Структура и классификация современного урока истории
Под структурой урока понимается сочетание определенных звеньев процесса обучения, обусловленное дидактической целью занятия и реализованное в конкретном типе урока. Структурные компоненты урока охарактеризованы ниже в порядке их использования в учебном процессе: 1. Организационный момент складывает ...

Методика сенсорного воспитания детей младшего дошкольного возраста
В детском саду ребенок обучается рисованию, лепке, конструированию, знакомится с явлениями природы, начинает осваивать основы математики и грамоты. Овладение знаниями и умениями во всех этих областях требует постоянного внимания к внешним и внутренним свойствам предметов. Так, для того чтобы получи ...