Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Система образования Ирландии
В Ирландии действует более 3000 начальных, свыше 800 средних, более 150 языковых школ, 14 технологических институтов, несколько частных педагогических и бизнес-колледжей, семь университетов. Все учебные заведения контролируются на государственном уровне специальными органами, которые следят за соот ...

Жанровая типология церковной музыки православного обряда
Главная цель литургических жанров – выразить видимыми и слышимыми средствами невидимое и неслышимое. Они указывают на ту Божественную реальность, которая присутствует в центральном христианском таинстве – Евхаристии. С помощью богослужебных жанров эта реальность является людям, а они, в свою очеред ...

Экологическое образование как важнейший фактор нравственного формирования личности
Экологическое образование призвано формировать экологическое мировоззрение, нравственность и культуру личности. Человек появился на определенном этапе совершенствования биосферы, и никогда не потеряет связь с природой, вечно изменчивой, угрожающей, с одной стороны, и дающей убежище от любой опаснос ...