Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Я-концепция и технология построения имиджа педагога
Формирование Я-концепции человека происходит при накоплении опыта решения жизненных задач и при оценивании их со стороны других людей. Внутренняя структура имиджа также содержит три похожие составляющие. Следует их рассмотреть. Первая часть внутренней структуры - это представление человека о себе с ...

Гражданская активность и особенности ее формирования у учащихся школы надомного обучения
В настоящее время в России на государственном уровне признано, что гражданско-правовое образование является одним из приоритетных направлений образовательной политики. Существует программа воспитания демократической гражданственности и образования в области прав человека, принятая Советом Европы 15 ...

Специфика организации проектной деятельности учащихся
Метод проектов зародился во второй половине XIX века в сельскохозяйственных школах США и основывался на теоретических концепциях прагматической педагогики, основоположником которой был американский философ-идеалист Джон Дьюи. Метод был направлен на то, чтобы найти способы, пути развития самостоятел ...