Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие и структура межкультурной компетенции
Глобализация – это процесс возрастающего воздействия различных факторов международного значения (например, тесных экономических и политических связей, культурного и информационного обмена) на социальную действительность в отдельных странах. Суть глобализации заключается в расширении взаимосвязей и ...

Условия формирования опыта
Базой опытно-экспериментальной работы послужила средняя общеобразовательная школа №5 города Ершова. В реализации опытно-экспериментальной программы принимала участие Бутенко Елена Эдуардовна. В школе работает с 1986 года. Окончила Ташкентский педагогический институт имени Низами. Имеет высшую квали ...

Требования к отчету по преддипломной практике
Во время прохождения практики студент составляет подробный отчет о практике. Объем отчета, ориентировочно, включая схемы, графики, образцы документов и фрагменты необходимых программ должен составлять порядка 30 стр. Отчет должен содержать следующие разделы: описание информационных потоков производ ...