Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Понятие «готовность к школьному обучению»
Готовность дошкольника с нарушенным слухом к школьному обучению является одним из важных итогов его развития в дошкольный период детства. Наступает переломный момент, когда условия жизни и деятельности ребенка резко изменяются, складываются новые отношения со взрослыми и детьми, появляется ответств ...

Особенности работы на пленере
Любая картина начинается с идеи, с замысла. Художник наблюдает разные состояния природы, делает зарисовки и этюды на пленере. Важность работы на пленере невозможно переоценить. Этюды и рисунки с натуры были обязательной частью подготовки художников прошлых веков. Е.И Репин и Ф.А. Васильев видели в ...

Принцип научности и доступности правового образования
Принцип научности предполагает соответствие учебного материала новейшим достижениям юридической науки; приоритет научных знаний: не идеология определяет отбор знаний, а научные знания позволяют делать идеологические выводы. Понимание данной позиции важно в силу того, что право имеет политическую пр ...