Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Особенности культурного воспитания детей старшего дошкольного возраста в ДОУ
В условиях духовного возрождения общества, роста его национального самосознания закономерен интерес к освоению культурного пространства как корневой системе, питающей современное общество, способствующей духовному оздоровлению всего народа. Не случайно так остро встал вопрос необходимости гуманизац ...

Техники акварельной живописи
«Сила живописи, как и всякого искусства,— в глубине содержания и совершенстве формы. Только сочетание значительной, передовой идеи и отточенного профессионального мастерства дает подлинное произведение искусства. Если творческое мышление художника является его духовной силой, то техника живописи сл ...

Характеристика типичных нарушений графомоторных навыков у детей с нарушениями интеллекта и причин их возникновения
Низкая способность к анализу и синтезу визуально поступающей информации, сниженная дифференцированность зрительного восприятия и анализа, неумением подчинить восприятие поставленной задаче, низкий уровень осмысления наглядно и на слух воспринимаемого материала осложняют у младших школьников с наруш ...