Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Опытно-экспериментальная работы по проверке эффективности условий воспитания детей в национальных традициях
Цель: Формирование и развитие личности ребенка на национальной основе. Разные виды деятельности предусматривают освоение каждым дошкольником духовного наследия предыдущих поколений. Задачи: 1. Разработаны диагностику и диагностический инструментарий по изучению уровня освоения культурных традиций. ...

Проектная деятельность с использованием среды Лого Миры на уроках информатики и естествознания
Проектную деятельность учащихся можно построить на примере многих школьных предметов, используя различные способы планирования желаемых результатов и организации работы над проектом: сбор информации, экспериментальные и опытные работы, создание газеты, спектакля, видеофильма и др. Мы предлагаем пос ...

Задачи и содержание формирования культурно - гигиенических навыков у младших дошкольников
Большое значение в охране и укреплении здоровья ребёнка имеет гигиеническое воспитание и воспитание культуры поведения. В дошкольном учреждении гигиеническое воспитание детей заключается в рациональном использовании условий внешней среды, сообщения детям элементарных гигиенических сведений и формир ...