Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Психологическая характеристика старшеклассника
Особенность этого возраста в том, что "начинается" он с изменения социальной ситуации развития. Этот возраст исследовали многие видные психологи. Впервые описал психологические особенности подросткового возраста С.Холл, который указал на противоречивость поведения. Как уже отмечалось, что ...

Роль паузального членения фраз
Правильное членение речи с помощью пауз служит одним из существенных факторов, способствующих внятности речи глухих детей. В то же время умение расчленять речь паузами на фразы, а фразы на синтагмы помогают глухим понимать речь окружающих и читаемый текст. Вместе с тем наблюдение показывает, что уч ...

Функции и средства педагогического общения
Традиционно в общении выделяют три взаимосвязанных функции: коммуникативную (обмен информацией), перцептивную (восприятие и познание людьми друг друга), интерактивную (организация и регуляция совместной деятельности. Эти функции общения в педагогической деятельности реализуются в единстве, но для р ...