Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Психолого-педагогическая характеристика старшего дошкольного возраста
Старший дошкольный возраст (5-7 лет) – это период интенсивного развития психических процессов и процессов познавательной деятельности. Это период овладения социальным пространством человеческих отношений через общение с близкими взрослыми, а также через игровые и реальные отношения со сверстниками. ...

Дидактическая игра на уроке труда
Подготовка младших школьников к трудовой деятельности остается одной из основных и актуальных задач современной школы. Началом такой подготовки является формирование у учащихся интереса к труду и потребности овладеть определенными трудовыми умениями. Наиболее успешному осуществлению данной цели спо ...

Знакомство с деятельностью учителя-предметника
Особенности программы, по которой работает учитель – Бедаш Наталья Николаевна в своей работе использует программу Владимира Васильевича Пасечника, корректируя ее в зависимости от учебных возможностей учащихся. Перечень учебно-методических пособий, дидактических материалов, которыми пользуется учите ...