Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Повышение компетентности педагогов в области интегрированного обучения детей с особыми образовательными потребностями в массовой школе
В Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. отмечается: «дети с ограниченными возможностями здоровья должны обеспечиваться медико-социальным сопровождением и специальными условиями для обучения в общеобразовательном ДОУ и школе по месту жительства». По статистическим данны ...

Ознакомление с основами правового сознания детей дошкольного возраста
По рекомендации ЮНЕСКО (1974 г.) обучение правам человека, т. е. правовое воспитание, предлагается начинать еще на дошкольном уровне. Сегодня в отечественной дошкольной педагогике эта проблема только разрабатывается, вызывая интерес у исследователей и практиков. Для правового образования детей педа ...

Задания – элемент методической системы
Задания как элемент методической системы, используемой для развития умения учащихся рассуждать, должна составлять определенную совокупность. Неупорядоченное стихийное применение заданий в обучении полезно, необходимо, но недостаточно для достижения каждым учеником должного уровня развития этого уме ...