Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность Sn (х) равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для

0 , , N и выполнялось неравенство:

.

Доказательство необходимости

Пусть последовательность функций Sn (x) равномерно сходится на множестве Х, где Х - область определения этих функций. Требуется доказать, что для 0 N, , ,N и :

.

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности Sn (x), существует такая предельная функция S (x), к которой эта последовательность сходится, т.е. 0 (), N, , : .

При тех же условиях существует такой номер, что при будет выполняться неравенство: .

Сложим два неравенства одинакового смысла:

+

В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел:

+

Следовательно, 0, , ,N.

Доказательство достаточности:

Пусть 0 N, , N: . Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции S (x) на X.

Образование, педагогика, воспитание:

Анализ передового педагогического опыта
Мировая педагогическая практика широко использует подвижные игры в процессе совершенствования физических навыков малышей. В Китае, Чехии, Германии, Японии, Финляндии и многих других стран подвижные игры являются одним из основных видов физической активности воспитанников детских садов. В России под ...

Развитие творческих способностей учащихся средствами графики
Художественное образование в целом и занятия графикой в частности призвано развивать эстетический и познавательный потенциал личности, стимулировать формирование эстетического сознания как основы культуры личности и основы эстетической деятельности, помогает подросткам самостоятельно освоить культу ...

Методика формирования синтаксического строя речи
В рамках констатирующего эксперимента выявляется уровень синтаксического строя речи учащихся, анализируются грамматические и речевые ошибки, определяется значение синтаксических конструкций различных функционально-стилистических рядов в читательской деятельности. Анализ письменной речи учащихся опи ...