Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке . чем занять себя в свободное время

Доказательство.

Пусть - частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (), N,:

или .

Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке по условию теоремы, то частичная сумма будет непрерывна в точке , как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

=++…+.

На основании определения непрерывности функции в точке на языке можно записать: 0 будет существовать такое

, , :

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то и последовательность функций будет тоже равномерно сходиться к .

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (0), (N), ():

.

Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: ++. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел , получим:

.

Следовательно, - условие непрерывности функции в точке .

Образование, педагогика, воспитание:

Методические рекомендации по теме: "Ознакомление с основами правового сознания детей дошкольного возраста"
Центральное место отводится работе по формированию правового сознания у детей путем ознакомления их с ближайшим окружением. Обучение может строится по принципу постепенного движения от самого "Я" до окружающего мира. Темы ознакомления детей с основами правового сознания Младший дошкольный ...

Организм ребенка как саморазвивающаяся и саморегулирующаяся система
Организм ребенка - это живая саморазвивающаяся и саморегулирующаяся система, живой аппарат, обеспечивающий удовлетворение всех родовых и прижизненно возникающих потребностей и психическую деятельность человека. Организм состоит из огромного числа клеток различного строения, в зависимости от того, к ...

Методические требования к художественным текстам для домашнего чтения на старшей стадии обучения учащихся иностранному языку
Для успешной организации процесса обучения самостоятельному чтению представляется важным рассмотреть требования к текстам. Основу типологической общности текстового материала для домашнего чтения на средней стадии обучения иностранному языку, на наш взгляд должны составлять требования к: 1) жанру, ...