Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке . чем занять себя в свободное время

Доказательство.

Пусть - частичная сумма функционального ряда.

В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм.

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: 0 (), N,:

или .

Так как функции исследуемого ряда непрерывны в точке по условию теоремы, то частичная сумма будет непрерывна в точке , как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций:

=++…+.

На основании определения непрерывности функции в точке на языке можно записать: 0 будет существовать такое

, , :

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то и последовательность функций будет тоже равномерно сходиться к .

На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать: (0), (N), ():

.

Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов 3,5,7: ++. Воспользуемся свойством модуля суммы действительных чисел , получим:

.

Следовательно, - условие непрерывности функции в точке .

Образование, педагогика, воспитание:

Процесс развития познавательной деятельности учащихся
Развитие учащихся - многомерный процесс, который зависит от особенностей их нервной системы, индивидуальных особенностей, воспитания. Поэтому показателей, по которым можно судить об уровне развития учащихся, несколько. Важнейшее из них – качество знаний и умение использовать их в новых учебных ситу ...

Проведение пальчиковых игр
Обязательно посмотрите хотя бы на одну маму или бабушку, которая «исполняет» игру так, что детям нравится. Имеет значение-многое: темп, тембр голоса, выражение лица, громкость, положение тела, а не только пальцев. Помогать ли пальчикам? Это непременно нужно делать, если вы занимаетесь с младенцем, ...

Формирование оптимальной двигательной активности в старшем дошкольном возрасте
Старший дошкольный возраст является наиболее важным периодом для формирования двигательной активности. Дети 5- 7 лет обладают богатым творческим воображением и стремятся удовлетворить свою биологическую потребность в движениях. Это позволяет им овладеть сложным программным материалом по развитию дв ...