.
С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:
.
Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .
Теорема доказана [14].
§9. Почленное интегрирование функциональных рядов
Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:
.
1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то
функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.
2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл
,
3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:
.
4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:
=
(на основании свойства определенного интеграла).
5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:
.
6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:
, что равносильно выражению
, но , поэтому
, .
Теорема доказана [14].
Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива
Образование, педагогика, воспитание:
Генезис стиля
Предпосылки существования объективированных стилей создаются в процессе развития деятельности, отчуждения ее результатов, продуктов, средств от производителя. Условным началом формирования индивидуального стиля можно считать вступление субъекта в деятельность. Сразу же, еще до сколько-нибудь полног ...
Основные направления логопедической работы по формированию фонематического
восприятия у дошкольников с ФФН
Преодоление фонетико-фонематического недоразвития достигается путем целенаправленной логопедической работы по коррекции звуковой стороны речи и фонематического недоразвития. «Система обучения и воспитания детей дошкольного возраста с фонетико-фонематическим недоразвитием включает коррекцию речевого ...
Психофизиологические особенности детей старшего дошкольного возраста с
задержкой психического развития
Рост требований к личности ребенка, среди которых ранние сроки начала обучения, усложнение образовательных программ определяют необходимость своевременного выявления пограничных состояний интеллектуальной недостаточности современных дошкольников. Задержка психического развития у детей чаще всего об ...