Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

.

С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:

.

Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .

Теорема доказана [14].

§9. Почленное интегрирование функциональных рядов

Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции , то последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом будет сходиться равномерно на к определенному интегралу , причем будет справедлива следующая формула:

.

1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции на т.е. , то

функция будет непрерывна на на основании теоремы 5.

2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл

,

3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:

.

4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:

=

(на основании свойства определенного интеграла).

5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:

.

6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:

, что равносильно выражению

, но , поэтому

, .

Теорема доказана [14].

Следствие. Пусть функции непрерывны на и функциональный ряд равномерно сходится на указанном отрезке, тогда функциональный ряд вида будет равномерно ходиться на отрезке к или к , т.е. справедлива

Образование, педагогика, воспитание:

Дидактические материалы и методика их использования
Дидактические материалы подразделяются на: а) фабричные (самостоятельные и контрольные работы по 4-6 вариантам); б) самодельные: карточки для индивидуальной работы (для сильных и слабых учеников), карточки для фронтальной работы, карточки для устного счёта. Назначение “Дидактических материалов”: по ...

Этапы решения педагогических задач
Рассматривая процедуру решения педагогической задачи, необходимо исходить из того, что ее цель достигается в результате решения частных познавательных и практических задач. Это этапы решения педагогической задачи в целом: 1) постановка педагогической задачи на основе анализа ситуации и конкретных у ...

Методикаформирования представлений о домашних животных у детей раннего возрастасредствами дидактической игры
Провели диагностику предложенную Е.В. Гончаровой и Л.В. Моисеевой. В процессе индивидуальных бесед малышам демонстрировались дидактические картинки игрушки-модели. Анализируя уровень знаний детей о животных, обращали внимание на следующие критерии: 1. Узнавание и называние животного. 2. Знание особ ...