Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема доказана .

Замечание

1) Полученное утверждение теоремы можно переписать в следующем виде:

или ,

так как ,

его сумма ,

следовательно, .

2) Так как каждая функция непрерывна в точке , то для любой функции можно написать утверждение: , следовательно, . Таким образом, предел от функционального рядаравен сумме пределов его элементов.

Известно, что если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится, то этот функциональный ряд тоже равномерно сходится на указанном множестве. Это обстоятельство позволяет переформулировать теорему 4 для функциональных рядов в соответствующую теорему для функциональных последовательностей.

Теорема 5. Если функции , N непрерывны в точке и равномерно сходятся к функции на множестве Х, то и функция непрерывна в точке и выполняется равенство: (предельные переходы по х и по n перестановочны).

Доказательство

Так как функции равномерно сходятся в предельной функции на множестве Х, на основании теоремы 4, то можно записать равенство: .

Функция является непрерывной в точке множества Х на основании теоремы 4. Так как непрерывна в точке , то можно записать следующее утверждение: (определение 1 непрерывности функции в точке).

Используя равенство пункта 1, подставим вместо левую часть утверждения .

Так как по условию теоремы функции непрерывны в точке , то на основании определения 1 непрерывности функции в точке можно записать .

Перейдем к пределу при в последнем равенстве:

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то верно следующее утверждение:

Образование, педагогика, воспитание:

Научное исследование в педагогике
Без глубокого знания сложившегося состояния педагогической теории и практики невозможно это состояние изменить, прогнозировать развитие образовательной политики и науки об образовании и воспитании человека. Приобретается это знание в процессе специального организованных научно-педагогических исслед ...

Воспитание самостоятельности и активности
Главной задачей интеллектуальной готовности ребенка является формирование у ребенка определенных знаний и умений на основе включения его в активную учебную деятельность. В процессе решения этой задачи педагог использует разнообразные методы и приемы: объяснение, показ, вопросы, оценка и др. Формиро ...

Оборудование площадок и инвентарь для игры в хоккей
Для организации игры в хоккей необходимо соответствующее оборудование площадок и инвентарь. О катке нужно позаботится заранее, еще до первых морозов. Площадку необходимо очистить от мусора и выровнять, чтобы при заливке она была ровной и гладкой. Как только ударят морозы, можно заливать каток. Разм ...