Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема доказана .

Замечание

1) Полученное утверждение теоремы можно переписать в следующем виде:

или ,

так как ,

его сумма ,

следовательно, .

2) Так как каждая функция непрерывна в точке , то для любой функции можно написать утверждение: , следовательно, . Таким образом, предел от функционального рядаравен сумме пределов его элементов.

Известно, что если последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится, то этот функциональный ряд тоже равномерно сходится на указанном множестве. Это обстоятельство позволяет переформулировать теорему 4 для функциональных рядов в соответствующую теорему для функциональных последовательностей.

Теорема 5. Если функции , N непрерывны в точке и равномерно сходятся к функции на множестве Х, то и функция непрерывна в точке и выполняется равенство: (предельные переходы по х и по n перестановочны).

Доказательство

Так как функции равномерно сходятся в предельной функции на множестве Х, на основании теоремы 4, то можно записать равенство: .

Функция является непрерывной в точке множества Х на основании теоремы 4. Так как непрерывна в точке , то можно записать следующее утверждение: (определение 1 непрерывности функции в точке).

Используя равенство пункта 1, подставим вместо левую часть утверждения .

Так как по условию теоремы функции непрерывны в точке , то на основании определения 1 непрерывности функции в точке можно записать .

Перейдем к пределу при в последнем равенстве:

.

Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции , то верно следующее утверждение:

Образование, педагогика, воспитание:

Методические рекомендации к проведению пальчиковых игр
1) Перед игрой с ребенком обсудить ее содержание, сразу при этом отрабатывая необходимые жесты, комбинация пальцев, движения. Это не только позволит подготовит малыша к правильному выполнению упражнения, но и создаст необходимый эмоциональный настрой. 2) Перед началом упражнений дети разогревают ла ...

Функции, методы и формы социальной работы в школе
В условиях школы применяются различные смежные подходы, имеющие границы и зоны воздействия, в которых проявляются те или иные воздействия социальной работы. При этом всегда следует учитывать аспекты, где социальная работа должна ослабить свои позиции в пользу других служб. Социальная служба в школе ...

Содержание элективных курсов по математике
Содержание элективных курсов определено программой, разработанной учителем и предусматривает изучение разделов: «Избранные вопросы математики», «Математика в приложениях» и др. К программе прилагается список литературы, рекомендованный для изучения темы элективного курса, а также примерное содержан ...