Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Принципы образования в области прав человека
Устойчивая (в долгосрочном плане), всеобъемлющая и эффективная национальная стратегия включения образования в области прав человека в образовательные системы может включать следующие мероприятия: – учет вопросов образования в области прав человека в национальном законодательстве, регулирующем школь ...

Дидактические материалы и методика их использования
Дидактические материалы подразделяются на: а) фабричные (самостоятельные и контрольные работы по 4-6 вариантам); б) самодельные: карточки для индивидуальной работы (для сильных и слабых учеников), карточки для фронтальной работы, карточки для устного счёта. Назначение “Дидактических материалов”: по ...

Экологическое образование как важнейший фактор нравственного формирования личности
Экологическое образование призвано формировать экологическое мировоззрение, нравственность и культуру личности. Человек появился на определенном этапе совершенствования биосферы, и никогда не потеряет связь с природой, вечно изменчивой, угрожающей, с одной стороны, и дающей убежище от любой опаснос ...