Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Взаимосвязь процессов функционирования и развития в Омской области с элементами содержания общего образования
Регионально-национальный компонент содержания общего образования предопределяется содержанием понятия «регион». Регион – это территория, объединенная общим признаком, отличающим данную территорию от соседних территорий. Исходя из этого определения, очевидно, что в зависимости от выявленных признако ...

Этнопедагогические традиционные методы семейного физического воспитания Якутов
В последнее время в Республике Саха (Якутия) сделано немало для сохранения и возрождения духовных, культурных ценностей, накопленных на протяжении жизни многих поколений народа Саха. Традиционный образ жизни, жизнь в гармонии с природой - это не только прошлое человечества, но в значительной его ча ...

Роль грамматики в формировании иноязычной коммуникативной компетенции
Грамматика является важным аспектом обучения иностранному языку. На основе грамматических законов слова объединяются в словосочетания и предложения, благодаря чему речь приобретает осмысленный характер. Термин «грамматика» объединяет разные понятия. С одной стороны термин «грамматика» означает «осо ...