Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов
Теорема 4. Если функции непрерывны в точке и функциональный ряд равномерно сходится на множестве Х, то его сумма S (х) тоже непрерывна в точке . Доказательство. Пусть - частичная сумма функционального ряда. В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняе ...

Сказки, включенные в образовательную программу
Детский сад, в котором работаю я, воспитывает детей по «Программе воспитания и обучения в детском саду» под редакцией М.А. Васильевой, В.В. Гербовой, Т.С. Комаровой. По данной программе наш сад работает уже несколько десятилетий, она всесторонне апробировалась воспитателями. В соответствии с соврем ...

Физическая подготовка детей к школе
Для успешного обучения в школе ребенку необходима не только умственная, нравственно-волевая подготовка, но и прежде всего физическая. Меняющийся уклад жизни, нарушение старых привычек, возрастание умственных нагрузок, установление новых взаимоотношений с учителем и сверстниками – факторы значительн ...