Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Мультимедиа - средство обучения нового поколения
Современное образование требует изменения подходов к обучению. Прежде всего, следует добиться максимальной активизации и визуализации обучения. Этому способствует применение различных технических средств, позволяющих сократить время изложения нужной информации и современные технологии в образовании ...

Психолого-лингвистические основы обучения иноязычному чтению в условиях общеобразовательных школ
Поскольку самостоятельное чтение является рецептивной речевой деятельностью, которая осуществляется на основе самостоятельного использования определённых действий рецептивного характера, рассмотрим прежде всего наиболее важные вопросы: 1) о механизмах чтения в "норме" и при несовершенном ...

Обучение дошкольников началам математики
Развитие элементарных математических представлений у дошкольников – особая область познания, в которой при условии последовательного обучения можно целенаправленно формировать абстрактное логическое мышление, повышать интеллектуальный уровень. В условиях систематического обучения ребенок может выде ...