Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Концепция обучения сельских школьников на основе интегративно-дифференцированного подхода
Актуальность разработанной концепции определяется рядом тенденций, выявленных на основании анализа исследований по проблемам обучения в сельских школах, результатов деятельности сельских школ в условиях современной социально-экономической ситуации, наблюдений практики обучения в них. Такими тенденц ...

Почленное дифференцирование функциональных рядов
Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на , и последовательность их производных равномерно сходятся на , тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций , т.е. , непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство: или . Доказатель ...

Этапы формирования грамматического строя речи у детей. Основные трудности и ошибки
Усвоение речи ребенком - это сложный процесс, который в своем развитии проходит ряд стадий: от зачаточного, аморфного использования отдельных языковых явлений до полного овладения языковыми нормами. Первой стадией в усвоении речи является развитие у ребенка понимания обращенной речи (пассивная речь ...