Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Методика сенсорного воспитания детей младшего дошкольного возраста
В детском саду ребенок обучается рисованию, лепке, конструированию, знакомится с явлениями природы, начинает осваивать основы математики и грамоты. Овладение знаниями и умениями во всех этих областях требует постоянного внимания к внешним и внутренним свойствам предметов. Так, для того чтобы получи ...

Понятие и сущность полоролевой социализации детей среднего дошкольного возраста
Воспитание как процесс приобщения человека к историческому опыту в содержательной и целеполагающей основе всегда определяется ведущими потребностями общества. Изменение базовых социальных ориентиров неизбежно приводит к пересмотру и переоценке задач, направлений, форм организации воспитательной раб ...

Виды деятельности детей и общие технологические требования к их организации
Под деятельностью понимают внутреннюю (психическую) и внешнюю (физическую) активность человека, регулируемую сознаваемой целью. Всякая деятельность состоит из операций и действий. Операции - это процессы, цели которых находятся не в них самих, а в том действии, элементом которого они являются. Дейс ...