Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Воздействие подвижных игр с элементами спорта на развитие двигательных способностей детей дошкольного возраста
Исследования сенсорных систем различной модальности: зрения, слуха, тактильности — показали, что представители игровых видов спорта занимают ведущие места по показателям, характеризующим улучшение функционального состояния сенсорных систем. Игры с элементами спорта отмечаются большим разнообразием ...

Средний этап обучения
Работа с аутентичным текстом организуется так, что упражнения перестают быть упражнениями, а становятся речевой ситуацией и выполняются часто в форме игры, в том числе ролевой, группами, индивидуально, коллективно. Рассмотрим технологию работы со следующими типами текстов: текст-образец; рассказ; п ...

Функции наглядности в учебнике математики. Методы работы с учебником
Не все виды наглядностей, применяемых иллюстраций имеют одинаковое значение для раскрытия изучаемых закономерностей. На процесс решения математической задачи существенное влияние оказывает схема и предметно-аналитическая картинка, в которой отражены количественные отношения искомого и данного. Выде ...