Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Изображение предметов, животных, птиц
Упражнения состоят из серии последовательных движений и сопровождаются стихами, считалочками, ритм которых соответствует ритму выполняемого упражнения. При выполнении каждого упражнения нужно стараться вовлекать все пальчики, упражнения выполнять как правой, так и левой рукой. Нужно добиваться, что ...

Профессиональная квалификация педагога
Нормативы и сферы деятельности педагога в принципе неизменяемы, а вот его становление — движение от возможного к действительному, начинаясь с предпрофессионального поиска себя, затем профессионального образования и продолжаясь в ходе работы по специальности, — во всех его аспектах индивидуально, т. ...

Почленное дифференцирование функциональных рядов
Теорема 7. Пусть последовательность функций , непрерывно дифференцируемых на , и последовательность их производных равномерно сходятся на , тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций , т.е. , непрерывно дифференцируем на указанном отрезке и верно равенство: или . Доказатель ...