Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Проектная деятельность с использованием среды Лого Миры на уроках информатики и естествознания
Проектную деятельность учащихся можно построить на примере многих школьных предметов, используя различные способы планирования желаемых результатов и организации работы над проектом: сбор информации, экспериментальные и опытные работы, создание газеты, спектакля, видеофильма и др. Мы предлагаем пос ...

Художественная литература как средство воспитания чувства юмора
Если произведение адресовано ребенку, у которого все особенное: восприятие, чувства, память, речь, круг знаний и интересов, объем опыта, то литература должна быть соответствующей: интересной, динамичной и, конечно же, нравственной. Книга, обращенная к детям, должна учитывать их интересы, пристрасти ...

Комплекс упражнений для управления обучением самостоятельному чтению художественных текстов учащихся старших классов и организация контроля
Домашнее самостоятельное чтение и задания связанные с ним дают большие возможности для интеллектуального развития учащихся и повышения мотивации. Самостоятельную работу учащихся с иноязычным текстом следует сделать мотивированной, целенаправленной, управляемой, а процесс контролируемым самими учащи ...