Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Деятельностный подход к речевому процессу в теории А.А. Леонтьева
Явление «речь» в теории А.А. Леонтьева трактуется в зависимости от условий ее осуществления: в обучении иностранному языку – это самостоятельный вид речевой деятельности, обладающий всеми характеристиками деятельности в терминах А.Н. Леонтьева. В коммуникативном и познавательном видах деятельности ...

Ценность младшего школьного возраста
Глубокие изменения, происходящие в психологическом облике младшего школьника, свидетельствуют о широких возможностях развития ребенка на данном возрастном этапе. В течение этого периода на качественно новом уровне реализуется потенциал развития ребенка как активного субъекта, познающего окружающий ...

Прохождение преддипломной практики
В соответствии с учебным планом специальности 220200, утвержденным ректором РХТУ им. Д.И.Менделеева, преддипломная практика у студентов 5-го курса проводится с конца февраля в течение 4-х недель. При прохождении практики студент должен руководствоваться: указаниями руководителя практики от институт ...