Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Работа над синонимикой существительных как фактор межпредметной интеграции в начальной школе
Синонимической работе в школе традиционно уделяется большое внимание. Но анализ методической литературы и опыта работы учителей показывает, что чаще всего это внимание обращается на синонимику глаголов и прилагательных, работа же над синонимикой существительных оказывается по сравнению с ними значи ...

Особенности проявления интереса дошкольников к познавательной книге математического содержания и рабочим тетрадям
Интерес детей к познавательной книге изменяется на протяжении всего дошкольного периода. Он зависит от развития восприятия и накопления опыта рассматривания иллюстраций и слушания литературных сюжетов. В данном аспекте исследования в области восприятия дошкольниками литературы (А. В. Запорожец, С. ...

Кинолекторий, как просмотр и обсуждение
Интерес школьников к кино очень велик. Что привлекает их в кинофильмах? Сказочные сюжеты в младшем школьном возрасте, героико-романтические и приключенческие – в подростковом, острые моральные проблемы – в юношеском возрасте. К сожалению, у большинства воспитанников всех возрастных групп преобладае ...