Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Цели и задачи профильного обучения
В наше время одним из важнейших направлений модернизации системы образования в России остаётся переход к старшей профильной школе. Необходимость перехода старшей ступени на профильное обучение определена Правительством России в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» ...

Значение речи для развития познавательных процессов, эмоционального и социального развития детей с нарушениями слуха
Проблемы, связанные с определением значения речи для развития мышления и рассмотрением взаимодействия речи и мышления, подвергались обсуждению уже в античной философии. В соответствии с монистической моделью Платона, влияние которой сказывается до настоящего времени в различных направлениях бихевио ...

Воспитание самостоятельности и активности
Главной задачей интеллектуальной готовности ребенка является формирование у ребенка определенных знаний и умений на основе включения его в активную учебную деятельность. В процессе решения этой задачи педагог использует разнообразные методы и приемы: объяснение, показ, вопросы, оценка и др. Формиро ...