Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Значение речи для развития познавательных процессов, эмоционального и социального развития детей с нарушениями слуха
Проблемы, связанные с определением значения речи для развития мышления и рассмотрением взаимодействия речи и мышления, подвергались обсуждению уже в античной философии. В соответствии с монистической моделью Платона, влияние которой сказывается до настоящего времени в различных направлениях бихевио ...

Обучение в Австралии
Австралия в последние десятилетия вошла в число лидеров международного образовательного рынка. Обучение на «зеленом континенте» имеет много плюсов: английский в качестве государственного языка, высокий уровень жизни, возможность круглый год наслаждаться всеми прелестями теплого климата. Поэтому в э ...

Гимнастика для пальчиков
Гимнастика для пальцев рук делится на пассивную и активную. Пассивная гимнастика рекомендуется как предварительный этап перед активной гимнастикой детям с низким уровнем развития мелкой моторики. Затем следует перейти к упражнениям активной пальцевой I гимнастики. Все упражнения проводятся в игрово ...