Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Содержание и экспериментальное обоснование роли семейного физического воспитания в малокомплектной школе
На констатирующем этапе эксперимента мы провели диагностическую работу, которая состояла из двух частей: 1. Выявление потенциала семьи в формировании здорового смысла посредством традиционного семейного физического воспитания. 2. Изучение исходного уровня физической подготовленности школьников. Дан ...

Использование видеометода в современном учебном процессе
В современной школе значительно расширился арсенал средств обучения, повседневно применяемых учителем в учебно-воспитательной работе. Педагогический принцип наглядности обучения требует постоянного совершенствования средств обучения, использования в школе наглядных пособий, соответствующих уровню р ...

Игры с использованием предметных и сюжетных картинок
Уже в конце первого года ребенок тянется к красочной картинке, радуясь изображению. Малыш не сразу отличает реальный предмет от его изображения на картинке. Он относится к рисунку как к игрушке, к вещи, пытаясь взять нарисованный мячик, укусить яблоко. С помощью взрослого малыш постепенно устанавли ...