Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Первые научные исследования на Ставрополье по физике и математике
С расширением сети вузов и формированием системы всеобщего среднего обучения усиливались требования, предъявляемые к качеству образования. 23 июня 1936 г. вышло постановление СНК и ЦК ВКП (б), в котором говорилось, что только те вузы могут дать подготовленных специалистов, которые наряду с учебной ...

Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов
Опр.5. Последовательность функций равномерно сходится на множестве Х к предельной функции , если . Опр.6. Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция , в которой она равномерно сходится на множестве X. Обозначение: . Геометрический смыс ...

Экологическая составляющая химического образования
Современная экология – обширный междисциплинарный научный комплекс. Наряду с общей экологией, исследующей отношения организмов и условий среды на уровне особей, популяций, биоценозов и экосистем, этот комплекс включает прикладную экологию и социальную экологию. Столь широкий круг проблем экологии п ...