Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Этапы решения педагогических задач
Рассматривая процедуру решения педагогической задачи, необходимо исходить из того, что ее цель достигается в результате решения частных познавательных и практических задач. Это этапы решения педагогической задачи в целом: 1) постановка педагогической задачи на основе анализа ситуации и конкретных у ...

Методика использования познавательной книги и рабочих тетрадей в логико-математическом развитии дошкольников
Обобщенный анализ данных позволяет выделить ряд требований к книге математического содержания. Книга должна: быть доступной по содержанию, представлениям и форме; соответствовать санитарно-гигиеническим требованиям (размер, используемые материалы и краски, качество и размер рисунков и т. п.); иметь ...

Технология изображения пейзажа в зависимости от времени года
Каждое время года обладает в природе своей собственной игрой красок. Возьмем, например, синеву неба. Весной она кажется ясной и прохладной, в жаркие летние дни покрыта легкой дымкой, а ясными осенними днями сияет почти теплой голубизной. Для весенней листвы деревьев характерен свежий сияющий зелены ...