Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

формула: .

Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.

.

Доказательство

1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на , то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции , т.е. .

Причем и непрерывны в каждой точке отрезка на основании только что доказанной теоремы:

.

3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда: .

4) А является суммой ряда .

На основании доказанной теоремы можно записать:

5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:

.

Теорема доказана.

Замечание. Условие равномерной сходимости ряда на является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы.

Образование, педагогика, воспитание:

Использование стихов детских поэтов на утренниках и праздниках
Детский праздник - важная часть жизни ребенка, это радостное событие, которое позволяет расслабиться, встряхнуться, забыться, а порой и просто отдохнуть от будней. И уже почти афоризмом стали слова: Без праздников не бывает детства! Праздники духовно обогащают ребенка, расширяют его знания об окруж ...

Трудности овладения учащимися старших классов чтением иноязычных художественных текстов
При обучении иностранному языку чтение рассматривается как самостоятельный вид речевой деятельности и занимает одно из главных мест по своей важности и доступности. Задача учителя при этом заключается не только в том, чтобы научить учащихся читать и понимать тексты на изучаемом языке, но и привить ...

Виды пальчиковых игр
У новорожденного ручки всегда сжаты в кулачки, и если взрослый вкладывает свои указательные пальцы в ладони ребенка, тот их плотно сжимает. Таким образом, малыша можно даже немного приподнять. По мере созревания мозга этот рефлекс переходит в умение хватать и отпускать. Пальчиковые игры интересны и ...