Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при R. Следовательно, ряд расходится.

Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.

Пример №39 (№115 из [10]).

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке , написать полученный при этом ряд.

Решение

Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке , если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R, значит, и на отрезке .

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:

а) для R, N;

б) при R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с ).

Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке .

Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке .

Ответ: при .

Пример №40 (№119 из [10])

Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.

Решение

Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

При ряд примет вид . Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е. и .

Образование, педагогика, воспитание:

Национальные сказки, их значения для всеобщего развития ребенка
Этнопедагогика народа, создаваемая веками, включает в себя множество элементов, составляющих единую систему воспитания подрастающего поколения. Задача ставилась одна: вырастить человека, способного выжить в этом (часто враждебном) мире. И всё это - через участие в сложной системе религиозных (реже ...

Генезис стиля
Предпосылки существования объективированных стилей создаются в процессе развития деятельности, отчуждения ее результатов, продуктов, средств от производителя. Условным началом формирования индивидуального стиля можно считать вступление субъекта в деятельность. Сразу же, еще до сколько-нибудь полног ...

Экспериментальное обоснование роли семейного физического воспитания в малокомплектной школе
В таблице 2 указаны уровни сформированности навыков здорового образа жизни родителей на констатирующем этапе. Таблица 2 Уровень сформированности навыков здорового смысла на контролирующем этапе Уровень Контрольная группа Экспериментальная группа низкий 50% 60% средний 40% 40 % высокий 10 % 0 % В пр ...