Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при
R. Следовательно, ряд
расходится.
Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.
Пример №39 (№115 из [10]).
Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке
, написать полученный при этом ряд.
Решение
Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке
, если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.
Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для
R, значит, и на отрезке
.
Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:
а) для
R,
N;
б) при
R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с
).
Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке
.
Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке
.
Ответ: при
.
Пример №40 (№119 из [10])
Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.
Решение
Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
если , т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.
При ряд примет вид
. Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е.
и
.
Образование, педагогика, воспитание:
Применение дидактических игр на уроках математики во 2 классе
Учащихся вторых классов больше всего увлекает в игре её результат. У них проявляется тяга к играм на соревнование. В начале их увлекает желание одержать личную победу, стать победителем в соревновании между учениками в классе. Постепенно интересы ученика расширяются, он переживает не только свой ли ...
Материалы и оборудование для работы акварелью
Акварель – прекрасный материал для работы на пленере. Она дает возможность быстро и точно передать состояние природы. Этюды акварелью пишутся в технике «а-ля прима» или «по-сырому». Основой для акварели является бумага, которую часто предварительно смачивают водой для достижения особой размытой фор ...
Игровые технологии преподавания происхождения сущности государства и права
в современной школе
Игра – это определенная целостная реальность, обязательно как-то соотносящаяся с существующим миром («кусок» жизни). В этой реальности действуют и общаются люди. Соответственно, в процессе игры играющие получают опыт. Составляющими опыта могут быть и знания, и эмоциональные впечатления, и навыки, и ...