Исследуем ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
так как , то условие абсолютной сходимости ряда не выполняется при
R. Следовательно, ряд
расходится.
Значит, к заданному функциональному ряду нельзя применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Теорему о почленном дифференцировании к ряду применить нельзя.
Пример №39 (№115 из [10]).
Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на отрезке
, написать полученный при этом ряд.
Решение
Функциональный ряд можно интегрировать почленно на отрезке
, если на этом отрезке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.
Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для
R, значит, и на отрезке
.
Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке . Действительно, так как:
а) для
R,
N;
б) при
R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд (сумма убывающей геометрической прогрессии с
).
Значит, теорему о почленном интегрировании можно применить к функциональному ряду на отрезке
.
Ряд полученный при почленном интегрировании заданного ряда, примет вид на отрезке
.
Ответ: при
.
Пример №40 (№119 из [10])
Определить область существования функции и исследовать ее на дифференцируемость во внутренних точках существования.
Решение
Определим область сходимости ряда . По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
если , т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.
При ряд примет вид
. Полученный ряд сходится условно, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница (признак сходимости числовых знакочередующихся рядов), т.е.
и
.
Образование, педагогика, воспитание:
Диагностика уровней эвристического мышления детей
младшего школьного возраста
Для изучения использования эвристической технологии в образовательном процессе нами была проведена опытно-экспериментальная работа, которая состояла на базе МОУ СОШ №2 города Ишима и проводилась в три этапа: На первом - констатирующем - этапе определялся исходный уровень развития эвристического мыш ...
Методика подбора и применения средств физического воспитания в период
эксперимента
Организация физического воспитания, существующая в настоящее время, направлена в основном на совершенствование двигательных умений и навыков и не в полной мере способствует формированию эмоционально-волевой готовности детей к обучению в школе, поскольку не содержит целевых установок для работы в да ...
Учебные тренинговые игры на уроках истории России и исторического краеведения
Сегодня практически любой учитель истории применяет в своей деятельности нетрадиционные формы построения уроков. Это связано со становлением нового стиля педагогического мышления учителя, ориентирующегося на эффективное решение образовательно-воспитательных задач в условиях скромного количества пре ...