Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Итак, заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно в промежутке .

Кроме того, члены заданного функционального ряда являются непрерывными функциями R.

Найдем производную общего члена заданного функционального ряда: . Исследуем функциональный ряд на абсолютную и равномерную сходимость. Для можно найти такое , что . По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.

Значит, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов, ряд сходится равномерно и абсолютно при .

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно продифференцировать.

Продифференцируем почленно заданный функциональный ряд и получим такой функциональный ряд:

.

Полученный ряд при представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с .

Тогда и при .

Итак, сумма ряда при , т.е. .

Функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при , и функция непрерывна при . Значит, ряд можно почленно интегрировать. Проинтегрировав в пределах от до , находим

при .

Ответ: при .

В конце занятия подводятся итоги, выставляются оценки, оговаривается домашнее задание.

Преподаватель: Итак, подведем итог: на сегодняшнем занятии мы с вами научились исследовать функциональные ряды на интегрируемость и диф-ференцируемость, а также применять теоремы о дифференцируемости и интегрируемости рядов для нахождения их суммы. Для окончательного закрепления на дом будут заданы аналогичные примеры.

Домашнее задание: Практическое занятие №14 из [9].

Ниже приведены решенные номера домашнего задания:

Пример №36 (№95 из [10]).

Можно ли к ряду

Образование, педагогика, воспитание:

История развития акварельной живописи
Акварель – одна из самых сложных и загадочных техник. Секрет ее, на первый взгляд, достаточно прост: растворенные в воде очень мелко растертые частицы пигмента создают прозрачный красочный слой, проницаемый для световых лучей, которые, отражаясь от белой поверхности бумаги, повышает интенсивность з ...

Анализ результатов исследования особенностей звукопроизношения
На первом этапе нашего исследования мы провели исследование звукопроизношения. Анализируя полученные данные по исследованию звукопроизношения, мы выявили, что у детей экспериментальной группы нарушено звукопроизношение у всех детей (100%). Все данные о дефектах произношения мы поместили в таблицу. ...

Роль географических представлений в воспитании дошкольника
Слово "география" по-гречески означает "записи о Земле". Это наука о людях и различных местах на Земле, а также об отношениях между людьми и самой Землей. Земля и ее обитатели постоянно изменяются, поэтому география рассказывает и о том, как происходят эти изменения. Географию м ...