Итак, заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно в промежутке .
Кроме того, члены заданного функционального ряда являются непрерывными функциями R.
Найдем производную общего члена заданного функционального ряда: . Исследуем функциональный ряд на абсолютную и равномерную сходимость. Для можно найти такое , что . По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.
Значит, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов, ряд сходится равномерно и абсолютно при .
Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно продифференцировать.
Продифференцируем почленно заданный функциональный ряд и получим такой функциональный ряд:
.
Полученный ряд при представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с .
Тогда и при .
Итак, сумма ряда при , т.е. .
Функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при , и функция непрерывна при . Значит, ряд можно почленно интегрировать. Проинтегрировав в пределах от до , находим
при .
Ответ: при .
В конце занятия подводятся итоги, выставляются оценки, оговаривается домашнее задание.
Преподаватель: Итак, подведем итог: на сегодняшнем занятии мы с вами научились исследовать функциональные ряды на интегрируемость и диф-ференцируемость, а также применять теоремы о дифференцируемости и интегрируемости рядов для нахождения их суммы. Для окончательного закрепления на дом будут заданы аналогичные примеры.
Домашнее задание: Практическое занятие №14 из [9].
Ниже приведены решенные номера домашнего задания:
Пример №36 (№95 из [10]).
Можно ли к ряду
Образование, педагогика, воспитание:
Анализ учебно-методических пособий для проведения элективных курсов по
математике
В настоящее время литературы, связанной с элективными курсами сравнительно немного, так как данные курсы вошли в жизнь школы сравнительно недавно, и многие учителя (как показал анализ анкет) не проводят их, то есть нет опыта преподавания в данной области. Мы обратились к анализу учебных пособий по ...
Методика профессионального обучения. Понятия профессии
Методика – это совокупность методов для достижения какой-либо образовательной цели. МПО – дисциплина, которая занимается вопросами отбора содержания, выбора методов, средств, организационных форм в соответствии с дидактическими принципами и относиться к психолого-педагогическому циклу. Методики под ...
Общая характеристика личностно-деятельностного подхода к обучению
иностранному языку
Личностно-деятельностный подход основывается на системном представлении явлений, содержание которых составляют исследования психологии, психолингвистики и гуманистической педагогики. Психологические основы подхода заложены работами Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна, П.Я. Гальперина ...