Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Итак, заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно в промежутке .

Кроме того, члены заданного функционального ряда являются непрерывными функциями R.

Найдем производную общего члена заданного функционального ряда: . Исследуем функциональный ряд на абсолютную и равномерную сходимость. Для можно найти такое , что . По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.

Значит, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов, ряд сходится равномерно и абсолютно при .

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно продифференцировать.

Продифференцируем почленно заданный функциональный ряд и получим такой функциональный ряд:

.

Полученный ряд при представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с .

Тогда и при .

Итак, сумма ряда при , т.е. .

Функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при , и функция непрерывна при . Значит, ряд можно почленно интегрировать. Проинтегрировав в пределах от до , находим

при .

Ответ: при .

В конце занятия подводятся итоги, выставляются оценки, оговаривается домашнее задание.

Преподаватель: Итак, подведем итог: на сегодняшнем занятии мы с вами научились исследовать функциональные ряды на интегрируемость и диф-ференцируемость, а также применять теоремы о дифференцируемости и интегрируемости рядов для нахождения их суммы. Для окончательного закрепления на дом будут заданы аналогичные примеры.

Домашнее задание: Практическое занятие №14 из [9].

Ниже приведены решенные номера домашнего задания:

Пример №36 (№95 из [10]).

Можно ли к ряду

Образование, педагогика, воспитание:

Методическая типология грамматического материала
Вопросы ознакомления обучающихся с новым языковым материалом тесно связаны с проблемой типологии материала и его методической организацией. Важность методической типологии языкового материала объясняется стремлением рационализировать педагогический процесс, повысить его эффективность. Группировка я ...

Сказки, включенные в образовательную программу
Детский сад, в котором работаю я, воспитывает детей по «Программе воспитания и обучения в детском саду» под редакцией М.А. Васильевой, В.В. Гербовой, Т.С. Комаровой. По данной программе наш сад работает уже несколько десятилетий, она всесторонне апробировалась воспитателями. В соответствии с соврем ...

Национальные сказки, их значения для всеобщего развития ребенка
Этнопедагогика народа, создаваемая веками, включает в себя множество элементов, составляющих единую систему воспитания подрастающего поколения. Задача ставилась одна: вырастить человека, способного выжить в этом (часто враждебном) мире. И всё это - через участие в сложной системе религиозных (реже ...