Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Итак, заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно в промежутке .

Кроме того, члены заданного функционального ряда являются непрерывными функциями R.

Найдем производную общего члена заданного функционального ряда: . Исследуем функциональный ряд на абсолютную и равномерную сходимость. Для можно найти такое , что . По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.

Значит, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов, ряд сходится равномерно и абсолютно при .

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно продифференцировать.

Продифференцируем почленно заданный функциональный ряд и получим такой функциональный ряд:

.

Полученный ряд при представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с .

Тогда и при .

Итак, сумма ряда при , т.е. .

Функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при , и функция непрерывна при . Значит, ряд можно почленно интегрировать. Проинтегрировав в пределах от до , находим

при .

Ответ: при .

В конце занятия подводятся итоги, выставляются оценки, оговаривается домашнее задание.

Преподаватель: Итак, подведем итог: на сегодняшнем занятии мы с вами научились исследовать функциональные ряды на интегрируемость и диф-ференцируемость, а также применять теоремы о дифференцируемости и интегрируемости рядов для нахождения их суммы. Для окончательного закрепления на дом будут заданы аналогичные примеры.

Домашнее задание: Практическое занятие №14 из [9].

Ниже приведены решенные номера домашнего задания:

Пример №36 (№95 из [10]).

Можно ли к ряду

Образование, педагогика, воспитание:

Организация внеклассной работы
Общее руководство работой коллектива физической культуры возлагается на учителя физической культуры, а руководство кружком — на одного из учителей начальных классов. В кружок и коллектив физической культуры учащиеся вступают добровольно, для этого достаточно устного заявления. На общем собрании чле ...

Анализ учебно-методических пособий для проведения элективных курсов по математике
В настоящее время литературы, связанной с элективными курсами сравнительно немного, так как данные курсы вошли в жизнь школы сравнительно недавно, и многие учителя (как показал анализ анкет) не проводят их, то есть нет опыта преподавания в данной области. Мы обратились к анализу учебных пособий по ...

Становление пейзажа как жанра изобразительного искусства
В переводе с французского слово “пейзаж” (paysage) означает “природа”. Именно так именуют в изобразительном искусстве жанр, главная задача которого - воспроизведение естественной или измененной человеком природы. Кроме того, пейзаж - это конкретное художественное произведение в живописи или графике ...