Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Итак, заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно в промежутке .

Кроме того, члены заданного функционального ряда являются непрерывными функциями R.

Найдем производную общего члена заданного функционального ряда: . Исследуем функциональный ряд на абсолютную и равномерную сходимость. Для можно найти такое , что . По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.

Значит, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов, ряд сходится равномерно и абсолютно при .

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно продифференцировать.

Продифференцируем почленно заданный функциональный ряд и получим такой функциональный ряд:

.

Полученный ряд при представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с .

Тогда и при .

Итак, сумма ряда при , т.е. .

Функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при , и функция непрерывна при . Значит, ряд можно почленно интегрировать. Проинтегрировав в пределах от до , находим

при .

Ответ: при .

В конце занятия подводятся итоги, выставляются оценки, оговаривается домашнее задание.

Преподаватель: Итак, подведем итог: на сегодняшнем занятии мы с вами научились исследовать функциональные ряды на интегрируемость и диф-ференцируемость, а также применять теоремы о дифференцируемости и интегрируемости рядов для нахождения их суммы. Для окончательного закрепления на дом будут заданы аналогичные примеры.

Домашнее задание: Практическое занятие №14 из [9].

Ниже приведены решенные номера домашнего задания:

Пример №36 (№95 из [10]).

Можно ли к ряду

Образование, педагогика, воспитание:

Деятельностный подход к речевому процессу в теории А.А. Леонтьева
Явление «речь» в теории А.А. Леонтьева трактуется в зависимости от условий ее осуществления: в обучении иностранному языку – это самостоятельный вид речевой деятельности, обладающий всеми характеристиками деятельности в терминах А.Н. Леонтьева. В коммуникативном и познавательном видах деятельности ...

Игровые технологии
В теории и практике работы школ сегодня существует множество вариантов учебно-воспитательного процесса. Каждый автор и исполнитель привносит в педагогический процесс что-то свое, индивидуальное, в связи, с чем говорят, что каждая конкретная технология является авторской. С этим мнением можно соглас ...

Классификация дидактических игр
По характеру познавательной деятельности дидактические игры можно отнести к следующим группам: – игры, требующие от детей исполнительной деятельности. С помощью этих игр дети выполняют действия по образцу. – игры, требующие воспроизведения действия. Они направлены на формирование вычислительных нав ...