Действительно, так как:
а) для
R,
N;
б) для
R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера
, 0<1.
Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке
применить можно.
Ответ: Можно почленно проинтегрировать функциональный ряд .
Пример №37 (№106 из [10]).
Дифференцируя прогрессию получить новые разложения. Решение
Ряд сходится на интервале
, как сумма убывающей геометрической прогрессии. Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид:
. Составим ряд из производных:
.
Исследуем полученный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
если , т.е.
, то ряд
сходится абсолютно.
Ответ: При дифференцировании заданной прогрессии получен ряд .
Пример №38 (№109 из [10]).
Убедиться, что ряд можно продифференцировать почленно.
Решение
Исследуем заданный функциональный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
Так как , то ряд
сходится абсолютно при
R. Тогда остаток ряда можно оценить с помощью неравенства
, т.е.
.
Так как неравенства и
равносильны, то, взяв
, где
- какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию
, приходим к неравенству
. Итак, заданный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно при
R. Члены ряда являются непрерывными функциями при
R.
Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид:
.
Образование, педагогика, воспитание:
Дидактическая игра на уроке труда
Подготовка младших школьников к трудовой деятельности остается одной из основных и актуальных задач современной школы. Началом такой подготовки является формирование у учащихся интереса к труду и потребности овладеть определенными трудовыми умениями. Наиболее успешному осуществлению данной цели спо ...
Техническое оснащение в современной школе
Доска в образовании не просто инструмент для демонстрации, но и обучения, она породила специальную систему коммуникации, прямую и обратную связь - один учитель может работать с несколькими учениками. Доска это особое - познавательное - окно в мир. Но со временем он стал привычен и должен был преобр ...
Цели и формы музыкального образования в европейской истории образования
Музыкальное образование — процесс и результат усвоения систематизированных знаний, умений и навыков, необходимых для музыкальной деятельности. Под музыкальным образованием понимают также систему организации музыкального обучения в музыкальных учебных заведениях. Важную роль может играть и самообраз ...