Действительно, так как:
а) для
R,
N;
б) для
R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера
, 0<1.
Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке
применить можно.
Ответ: Можно почленно проинтегрировать функциональный ряд .
Пример №37 (№106 из [10]).
Дифференцируя прогрессию получить новые разложения. Решение
Ряд сходится на интервале
, как сумма убывающей геометрической прогрессии. Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид:
. Составим ряд из производных:
.
Исследуем полученный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
если , т.е.
, то ряд
сходится абсолютно.
Ответ: При дифференцировании заданной прогрессии получен ряд .
Пример №38 (№109 из [10]).
Убедиться, что ряд можно продифференцировать почленно.
Решение
Исследуем заданный функциональный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
Так как , то ряд
сходится абсолютно при
R. Тогда остаток ряда можно оценить с помощью неравенства
, т.е.
.
Так как неравенства и
равносильны, то, взяв
, где
- какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию
, приходим к неравенству
. Итак, заданный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно при
R. Члены ряда являются непрерывными функциями при
R.
Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид:
.
Образование, педагогика, воспитание:
Формирование знаний на уроке окружающего мира с использованием презентации
на тему: «Животный и растительный мир болот»
По программе «Начальная школа XIX век» встречается тема «Животный и растительный мир болот». Целью урока: расширить представления учащихся о животном и растительном мире водоемов: болот. Развивающая: развивать ОУУН: учебно–управленческие умения: организовывать свой труд, контроль и анализ собственн ...
История введения инноватики в образование
Понятие «инноватика» появилось более 100 лет назад в культурологии и лингвистике при описании процессов культурной диффузии, когда феномен из одного культурного ареала проникал в другие. Первое наиболее полное описание инновационных процессов было представлено в начале XX в. экономистом И. Шумпетер ...
Роль и место самостоятельного домашнего чтения в обучении учащихся старших
классов иностранному языку
Чтение на иностранном языке как опосредованная форма общения предоставляет возможности для расширения кругозора учащихся за счёт познавательной информации, заложенной в текстах, для воздействия на их интересы, чувства и эмоции. Как справедливо отмечает Л.А. Чернявская, оно оказывает влияние на разв ...