Действительно, так как:
а) для R, N;
б) для R;
в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера , 0<1.
Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке применить можно.
Ответ: Можно почленно проинтегрировать функциональный ряд .
Пример №37 (№106 из [10]).
Дифференцируя прогрессию получить новые разложения. Решение
Ряд сходится на интервале , как сумма убывающей геометрической прогрессии. Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид: . Составим ряд из производных:
.
Исследуем полученный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
если , т.е. , то ряд сходится абсолютно.
Ответ: При дифференцировании заданной прогрессии получен ряд .
Пример №38 (№109 из [10]).
Убедиться, что ряд можно продифференцировать почленно.
Решение
Исследуем заданный функциональный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:
,
Так как , то ряд сходится абсолютно при R. Тогда остаток ряда можно оценить с помощью неравенства , т.е.
.
Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию , приходим к неравенству . Итак, заданный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно при R. Члены ряда являются непрерывными функциями при R.
Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид:
.
Образование, педагогика, воспитание:
Психолого-лингвистические и дидактико-методические основы обучения чтению
как виду речевой деятельности
В психологической литературе речевая деятельность определяется как "реализация общественно-коммуникативной деятельности людей в процессе их вербального общения". Способами её реализации, или видами речевой деятельности, являются говорение, слушание, чтение и письмо. Как справедливо отмеча ...
Семейная психолого-педагогическая культура как основавзаимодействия
социального педагога и семьи
Жизнь семьи характеризуется материальными и духовными процессами, которые исторически обусловливаются системой общественных отношений, национальными обычаями, традициями, культурой, в конечном итоге её укладом. Развитие личности ребёнка в семье в решающей степени происходит под воздействием семейно ...
Методика подбора и применения средств физического воспитания в период
эксперимента
Организация физического воспитания, существующая в настоящее время, направлена в основном на совершенствование двигательных умений и навыков и не в полной мере способствует формированию эмоционально-волевой готовности детей к обучению в школе, поскольку не содержит целевых установок для работы в да ...