Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.

Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)

Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.

Решение

Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при R.

Очевидно неравенство при R, N.

Сравним функциональный и числовой ряды и .

При R, N справедливо неравенство .

Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с .

Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R.

Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при R.

Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :

.

Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.

Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как

a) для R, N;

б) при R;

в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ).

Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.

Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.

Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).

Законно ли применение к ряду

теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?

Решение

Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.

Образование, педагогика, воспитание:

Особенности саморегуляции одаренного ребенка
"Безумен тот, кто, не умея управлять собою, хочет управлять другими", - сказал Публий Сир. Здесь уместны и слова Гете: "Умен не тот, кто много знает, а тот, кто знает самого себя" Под саморегуляцией в психологии понимается способность человека произвольно управлять своей деятель ...

Изменчивость стиля
Объективированный стиль малоизменчив согласно своему происхождению. Главные иерархические уровни индивидуального стиля изменчивы в разной степени. В феномене "субъективно удобные условия деятельности" представлено осознанное и неосознанное отражение физиологически и психофизиологически ад ...

Специфика обучения и воспитания детей с нарушениями слуха
Глухой и слабослышащий ребенок, как и слышащий, при рождении — существо, открытое миру, которому необходимо воспитание как помощь в жизни. В соответствии со своей биологической сущностью он способен к обучению и может в процессе социализации получить воспитание и образование, которые станут предпос ...