Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.

Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)

Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.

Решение

Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при R.

Очевидно неравенство при R, N.

Сравним функциональный и числовой ряды и .

При R, N справедливо неравенство .

Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с .

Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R.

Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при R.

Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :

.

Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.

Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как

a) для R, N;

б) при R;

в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ).

Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.

Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.

Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).

Законно ли применение к ряду

теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?

Решение

Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.

Образование, педагогика, воспитание:

Система методов проблемно-развивающего обучения
В этой системе методы обучения группируются по нескольким основаниям: по уровню проблемности; по видам деятельности учителя (методы изложения преподавателя - монологическое, показательное, диалогическое; методы организации самостоятельной учебной деятельности учащихся - эвристический, исследователь ...

Трудности овладения учащимися старших классов чтением иноязычных художественных текстов
При обучении иностранному языку чтение рассматривается как самостоятельный вид речевой деятельности и занимает одно из главных мест по своей важности и доступности. Задача учителя при этом заключается не только в том, чтобы научить учащихся читать и понимать тексты на изучаемом языке, но и привить ...

Реализация технологии физического воспитания в работе с детьми 5–6 лет с задержкой психического развития
В РФ действуют специальные образовательные учреждения I-VШ видов. Для обучения и воспитания детей с ЗПР организуются учреждения VII вида: детский сад компенсирующего вида с приоритетным осуществлением квалифицированной коррекции в физическом и психическом развитии воспитанников; детский сад комбини ...