Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.
Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)
Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.
Решение
Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при R.
Очевидно неравенство при R, N.
Сравним функциональный и числовой ряды и .
При R, N справедливо неравенство .
Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с .
Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R.
Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при R.
Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :
.
Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.
Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как
a) для R, N;
б) при R;
в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ).
Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.
Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.
Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).
Законно ли применение к ряду
теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?
Решение
Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.
Образование, педагогика, воспитание:
Диагностическое исследования уровня коммуникативной полноценности речи
учащихся 4-х классов
Речь у детей младшего школьного возраста обычно развивается параллельно с совершенствованием мышления, особенно словесно-логического, поэтому, когда проводится психодиагностика развития мышления, она частично затрагивает речь, и наоборот: когда изучается речь ребенка, то в получаемых показателях не ...
Воспитание нравственных чувств у детей,как средство
подготовки детей к обучению в школе
Воспитание нравственных чувств у детей дошкольного возраста тесно связано с формированием у них этических представлений через которые ребенок постигает ценности, без которых невозможна духовная жизнь общества и отдельного человека. Отсутствие таких представлений, незнание того, «что такое хорошо» и ...
Роль сюжетно–ролевых игр в социализации детей дошкольного возраста
В педагогической теории игры особое внимание уделяется изучению игры как средству воспитания. Игра, несомненно, довольно увлекательное занятие для ребенка, а также важнейшее средство его воспитания и развития. Основополагающим является положение о том, что в дошкольном возрасте игра представляется ...