Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.

Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)

Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.

Решение

Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при R.

Очевидно неравенство при R, N.

Сравним функциональный и числовой ряды и .

При R, N справедливо неравенство .

Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с .

Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R.

Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при R.

Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :

.

Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.

Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как

a) для R, N;

б) при R;

в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ).

Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.

Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.

Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).

Законно ли применение к ряду

теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?

Решение

Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.

Образование, педагогика, воспитание:

Возрастное психофизическое развитие ребенка и его особенности
В процессе жизни человек все время развивается, то есть изменяется в количественном и качественном отношении. При этом можно особо говорить о развитии организма человека: физическом, умственном, психическом, личностном; а также о развитии многих других его качеств и особенностей. Развитие человека ...

Международные документы о правах ребенка
Благополучие детей и их права всегда вызывали пристальное внимание международного сообщества. Еще в 1924 году Лига Наций приняла Женевскую декларацию прав ребенка. В то время права детей рассматривались в основном в контексте мер, которые необходимо было принять в отношении рабства, детского труда, ...

Особенности социальной работы в образовательном учреждении
Проблема развития социальной педагогики в России очень актуальна. Официально профессия "социальный педагог" появилась в нашей стране лишь около десяти лет назад. Социальный педагог - призван объединять усилия семьи, школы, общественности, для оказания помощи ребенку. Социальная педагогика ...