Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.

Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)

Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.

Решение

Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при R.

Очевидно неравенство при R, N.

Сравним функциональный и числовой ряды и .

При R, N справедливо неравенство .

Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с .

Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R.

Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при R.

Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :

.

Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.

Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как

a) для R, N;

б) при R;

в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ).

Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.

Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.

Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).

Законно ли применение к ряду

теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?

Решение

Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.

Образование, педагогика, воспитание:

Игры, способствующие развитию доброжелательного микроклимата в группе
Цель этих игр: Учить детей находить, показывать и, по-возможности, произносить имена сверстников и сотрудников группы, воспитывать дружелюбие и желание играть друг с другом. Развивать общительность и хорошие взаимоотношения с окружающими людьми. Вызвать положительные эмоции. Покажи, кого назову Ход ...

О содержании и форме богослужебных песнопений
В отборе канонических текстов для песнопений Всенощной и Литургии прослеживается ориентация на определённое содержание. Она позволяет выделить отдельные группы жанровых типов интонирования. Ведущее место среди них занимает славление. Славление есть высший, абсолютно бескорыстный вид молитвы, оно яв ...

Роль семьи в полоролевой социализации дошкольников
До сих пор ученые полемизируют: какое понятие шире - полоролевое или половое воспитание. Одни считают полоролевое воспитание составной частью полового, другие убеждены в том, что оно (полоролевое) - более широкая область воспитания по сравнению с сексуальным. Но те и другие едины во мнении: психосе ...