Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.
Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)
Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.
Решение
Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при
R.
Очевидно неравенство при
R,
N.
Сравним функциональный и числовой ряды и
.
При R,
N справедливо неравенство
.
Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с
.
Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при
R.
Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при
R.
Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :
.
Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.
Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при
R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как
a) для
R,
N;
б) при
R;
в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с
).
Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.
Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.
Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).
Законно ли применение к ряду
теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?
Решение
Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.
Образование, педагогика, воспитание:
Методические рекомендации для воспитателей по
формированию культурно-гигиенических навыков у детей младшего дошкольного
возраста
Проведя наше исследование, мы считаем, что в каждом детском саду должны проводиться специальные занятия или мероприятия, направленные на формирование культурно - гигиенических навыков у детей младшего дошкольного возраста. Заложенные в детстве навыки и привычки сохраняются у дошкольников на всю ост ...
Особенности формирования географических
представлений через процесс ознакомления с природой Родного края
История изучения природы Родного края зародилось в далеком прошлом. У всех народов мира, во все времена были люди, хорошо знавшие окружающую их местность, ее природу, прошлое и современную жизнь. Свои знания устно или в различных документах они передавали последующим поколениям. Так было и в нашей ...
Диагностика двинательной активности детей дошкольного возраста
Определение объема двигательной активности производится при помощи механического и электронного шагомера. Для измерения естественной дневной двигательной активности шагомер надевается всем детям и снимается в определенный временной диапазон (например, с 8 до 17 или 19). В этот день не следует стиму ...