Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.

Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)

Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.

Решение

Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при R.

Очевидно неравенство при R, N.

Сравним функциональный и числовой ряды и .

При R, N справедливо неравенство .

Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с .

Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R.

Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при R.

Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :

.

Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.

Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как

a) для R, N;

б) при R;

в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с ).

Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.

Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.

Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.

Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).

Законно ли применение к ряду

теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?

Решение

Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.

Образование, педагогика, воспитание:

Познавательная активность учащихся, как педагогическая категория
Познание изучается рядом научных дисциплин. Эталоны и нормы познания, их соответствие познаваемой реальности, достоверность и недостоверность познания, взаимоотношение познания и иных форм отношения человека к миру (религии, морали, искусства) изучаются в специальном разделе философии – теории позн ...

Технологии преподавания происхождения сущности государства и права в современной школе
Динамичность общественной жизни диктует потребность в изменениях даже, казалось бы, универсальных форм обучения. Например, с течением определенного времени специалисты, анализирующие опыт преподавания происхождения сущности права и государства в современной школе, пришли к выводу о недопустимости о ...

Художественная литература как средство воспитания чувства юмора
Если произведение адресовано ребенку, у которого все особенное: восприятие, чувства, память, речь, круг знаний и интересов, объем опыта, то литература должна быть соответствующей: интересной, динамичной и, конечно же, нравственной. Книга, обращенная к детям, должна учитывать их интересы, пристрасти ...