Значит, к ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Теорему о почленом дифференцировании применить можно.
Пример №31 (№108 из [10], студент самостоятельно)
Убедиться, что ряд можно дифференцировать почленно.
Решение
Члены функционального ряда являются непрерывно дифференцируемыми функциями при
R.
Очевидно неравенство при
R,
N.
Сравним функциональный и числовой ряды и
.
При R,
N справедливо неравенство
.
Числовой положительный ряд является сходящимся рядом, так как представляет собой ряд Дирихле с
.
Значит, по признаку Вейерштрасса, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при
R.
Найдем производную общего элемента заданного функционального ряда: при
R.
Составим функциональный ряд из производных членов функционального ряда :
.
Члены этого функционального ряда являются непрерывными функциями при R.
Кроме того, функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится при
R в соответствии с признаком Вейерштрасса. Действительно, так как
a) для
R,
N;
б) при
R;
в) числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с
).
Значит, к заданному функциональному ряду можно применить теорему о почленном дифференцировании.
Ответ: Можно почленно дифференцировать заданный функциональный ряд.
Преподаватель: А теперь рассмотрим задания на возможность интегрируемости ряда.
Пример №32 (№344 из [7], с комментариями преподавателя).
Законно ли применение к ряду
теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутках ?
Решение
Для того, чтобы функциональный ряд можно было почленно проинтегрировать на отрезке, необходимым является непрерывность его членов и равномерная сходимость ряда на этом промежутке.
Образование, педагогика, воспитание:
Психолого-педагогические основы развития речи
Речь – основа всякой умственной деятельности, средство коммуникации. Умение учеников сравнивать, классифицировать, систематизировать, обобщать формируется, в процессе овладения, через речь, проявляются также в речевой деятельности. Логически чёткая, доказательная, образная устная и письменная речь ...
Фонетические факторы внятности
Наряду с общими требованиями к внятности и членораздельности, следует иметь в виду и ряд вытекающих из них частных требований, касающихся разных сторон фонетического оформления речи, а именно: голоса, фонетического облика слова (включая их фонематический состав, слоговый ритм, ударение, орфоэпию), ...
Технологии обучения истории
В методической литературе на сегодняшний день довольно мало информации о новейших технологиях преподавания Автор настоящей работы приводит наиболее доступные данные. Технология - это совокупность форм, методов, приемов и средств, применяемых в какой-либо деятельности. (См. А.В. Хуторской "Мето ...