Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Решение

Так как , то при .

Ряд - мажорантный, исследуем его на сходимость. По признаку Даламбера имеем:

.

Так как , то ряд сходится. По теореме Вейерштрасса, так как для R , то заданный ряд сходится равномерно и абсолютно на промежутке .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно на интервале .

Пример №26 (№354 из [7]).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.

Решение

Воспользуемся признаком Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов. Так как при любом , то справедливо неравенство , при R. - сходящийся ряд Дирихле с . Значит, и ряд сходится абсолютно и равномерно при R.

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при R.

Пример №27 (№76 из [10])

Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке

Решение

Так как при , и ряд - сходящийся ряд Дирихле с , то, по признаку Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Пример №28 (№82 из [10]).

Сходится ли равномерно ряд , если ?

Решение

Если , то . Так как -сходящийся числовой положительный ряд - ряд Дирихле с , то по теореме Вейерштрасса, ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Ответ: Заданный ряд сходится абсолютно и равномерно при .

Образование, педагогика, воспитание:

Диагностическое исследования уровня коммуникативной полноценности речи учащихся 4-х классов
Речь у детей младшего школьного возраста обычно развивается параллельно с совершенствованием мышления, особенно словесно-логического, поэтому, когда проводится психодиагностика развития мышления, она частично затрагивает речь, и наоборот: когда изучается речь ребенка, то в получаемых показателях не ...

Характеристика программы развития общения со сверстниками у детей старшего дошкольного возраста посредством игры
Анализ результатов констатирующего этапа эксперимента позволил разработать программу развития общения со сверстниками у детей старшего дошкольного возраста посредством игры. Целью развивающей программы является развитие общения старших дошкольников со сверстниками посредством игры. Цель программы п ...

Мышление как процесс решения задач
Содержание основных этапов развернутого мыслительного процесса Трактовка мышления как процесса означает, прежде всего, что сама детерминация мыслительной деятельности осуществляется тоже как процесс. Иначе говоря, по ходу решения задачи человек выявляет все новые и новые, до того неизвестные ему ус ...