Вопрос 4: Сформулировать достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда - признак Вейерштрасса.
Ответ: Теорема. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве .
Преподаватель: А теперь рассмотрим задание на исследование равномерной сходимости функционального ряда.
Пример №16 (№349 из [7], c комментариями преподавателя).
Показать, что ряд
сходится равномерно при всех действительных значениях .
Решение
Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е.
.
Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству . Итак, данный ряд сходится рав-номерно в промежутке при всех .
Ответ: Доказана равномерная сходимость для R.
Пример №17 (№51 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).
Исследовать на равномерную сходимость ряд
на любом конечном интервале.
Решение
Докажем, что каково бы ни было число , данный ряд сходится равномерно и абсолютно в круге радиусом , т.е. .
Заданный ряд сходится при любом значении , в частности, при , получаем числовой ряд: .
Исследуем его на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера . Так как , то ряд сходится, причем абсолютно.
Возьмем этот ряд в качестве мажорантного, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда при .
Образование, педагогика, воспитание:
Определение дидактики. Задачи и основы дидактики
В современном, полном контрастов и противоречий мире происходят значительные изменения и преобразования, которые отражаются на всех сферах человеческой жизни. Цивилизация стоит перед выбором направленности своего дальнейшего пути развития в условиях многочисленных катастроф и катаклизмов как природ ...
Психолого-педагогическое обоснование использования
наглядного метода обучения
Наглядность – это свойство, выражающее степень доступности и понятности психических образов объектов познания для познающего субъекта. В процессе создания образа восприятия объекта наряду с ощущением участвуют память и мышление. Образ воспринимаемого объекта является наглядным только тогда, когда ч ...
Игры, способствующие развитию понимаемой речи
В первом полугодии второго года жизни особое внимание уделяется формированию понимания речи взрослого. В этот период малыш пополняет словарь названиями окружающих предметов и действий с ними, овладевая смысловой стороной речи. Особую роль играет чувственный опыт, получаемый при непосредственном кон ...