Вопрос 4: Сформулировать достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда - признак Вейерштрасса.
Ответ: Теорема. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции
, определенные на множестве
, и числовой положительный сходящийся ряд
. Тогда, если для всех
выполняется неравенство
, то функциональный ряд
равномерно и абсолютно сходится на множестве
.
Преподаватель: А теперь рассмотрим задание на исследование равномерной сходимости функционального ряда.
Пример №16 (№349 из [7], c комментариями преподавателя).
Показать, что ряд
сходится равномерно при всех действительных значениях .
Решение
Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства
, т.е.
.
Так как неравенства и
равносильны, то, взяв
, где
- какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию
, приходим к неравенству
. Итак, данный ряд сходится рав-номерно в промежутке
при всех
.
Ответ: Доказана равномерная сходимость для R.
Пример №17 (№51 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).
Исследовать на равномерную сходимость ряд
на любом конечном интервале.
Решение
Докажем, что каково бы ни было число , данный ряд сходится равномерно и абсолютно в круге радиусом
, т.е.
.
Заданный ряд сходится при любом значении , в частности, при
, получаем числовой ряд:
.
Исследуем его на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера . Так как
, то ряд
сходится, причем абсолютно.
Возьмем этот ряд в качестве мажорантного, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда при
.
Образование, педагогика, воспитание:
Архитектурные памятники Уфы
В 19 века наблюдалось рост населения и как следствие расширение территории города. Этому поспособствовало превращение Уфы в крупный транспортный узел, а также развитие капиталистической промышленности. Город разрастался в двух направлениях: с юга на север и с востока на запад. Домовладения в Уфе со ...
Пути и способы объяснения грамматики
Овладение грамматическими средствами должно достигать уровня навыка и проявляться в речи на уровне вторичного творческого уровня. Процесс объяснения соответствует первому этапу формирования грамматических навыков и умений — этапу создания ориентировочной основы действия. Основу для создания системы ...
Особенности методики организации и проведения игр-драматизаций с детьми старшего
дошкольного возраста в условиях дошкольного образовательного учреждения
Наиболее эффективными сюжетами для игр-драматизаций, с точки зрения развития навыков театрализованной игры, являются сюжеты сказок. Особая роль при этом отводится сюжетам русских народных сказок, которые радуют детей своим оптимизмом, добротой, любовью ко всему живому, мудрой ясностью в понимании ж ...