Вопрос 4: Сформулировать достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда - признак Вейерштрасса.
Ответ: Теорема. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции
, определенные на множестве
, и числовой положительный сходящийся ряд
. Тогда, если для всех
выполняется неравенство
, то функциональный ряд
равномерно и абсолютно сходится на множестве
.
Преподаватель: А теперь рассмотрим задание на исследование равномерной сходимости функционального ряда.
Пример №16 (№349 из [7], c комментариями преподавателя).
Показать, что ряд
сходится равномерно при всех действительных значениях .
Решение
Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства
, т.е.
.
Так как неравенства и
равносильны, то, взяв
, где
- какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию
, приходим к неравенству
. Итак, данный ряд сходится рав-номерно в промежутке
при всех
.
Ответ: Доказана равномерная сходимость для R.
Пример №17 (№51 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).
Исследовать на равномерную сходимость ряд
на любом конечном интервале.
Решение
Докажем, что каково бы ни было число , данный ряд сходится равномерно и абсолютно в круге радиусом
, т.е.
.
Заданный ряд сходится при любом значении , в частности, при
, получаем числовой ряд:
.
Исследуем его на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера . Так как
, то ряд
сходится, причем абсолютно.
Возьмем этот ряд в качестве мажорантного, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда при
.
Образование, педагогика, воспитание:
Влияние игры на формирование элементов учебной деятельности и интеллектуальной подготовки детей
Подготовка к школе органично входит в жизнь ребенка, если взрослые учитывают психологическую специфику дошкольного возраста, не забывая о ведущей роли игры в этом периоде развития личности. Академик А.В.Запорожец писал, что оптимальные педагогические условия для реализации потенциальных возможносте ...
Основные требования к отбору задач для занятий элективного курса
Элективный курс по математике представляет собой одну тему, рассмотренную глубоко (например, элективный курс может называться «Комбинаторные задачи», а может состоять из нескольких тем, связанных друг с другом (например, «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей»). Основной курс мат ...
Анализ
результатов коррекции нарушений графомоторных навыков у детей младшего школьного
возраста с нарушением интеллекта
После проведения коррекционной работы по устранению нарушений графомоторных навыков, нами была проведена повторная диагностика уровня сформированности графомоторных навыков у детей младшего школьного возраста с нарушением интеллекта. В исследовании принимали участие те же ученики второго класса с и ...