Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Вопрос 4: Сформулировать достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда - признак Вейерштрасса.

Ответ: Теорема. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции , определенные на множестве, и числовой положительный сходящийся ряд . Тогда, если для всех выполняется неравенство , то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве .

Преподаватель: А теперь рассмотрим задание на исследование равномерной сходимости функционального ряда.

Пример №16 (№349 из [7], c комментариями преподавателя).

Показать, что ряд

сходится равномерно при всех действительных значениях .

Решение

Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е.

.

Так как неравенства и равносильны, то, взяв , где - какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию , приходим к неравенству . Итак, данный ряд сходится рав-номерно в промежутке при всех .

Ответ: Доказана равномерная сходимость для R.

Пример №17 (№51 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).

Исследовать на равномерную сходимость ряд

на любом конечном интервале.

Решение

Докажем, что каково бы ни было число , данный ряд сходится равномерно и абсолютно в круге радиусом , т.е. .

Заданный ряд сходится при любом значении , в частности, при , получаем числовой ряд: .

Исследуем его на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера . Так как , то ряд сходится, причем абсолютно.

Возьмем этот ряд в качестве мажорантного, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда при .

Образование, педагогика, воспитание:

Диагностика двинательной активности детей дошкольного возраста
Определение объема двигательной активности производится при помощи механического и электронного шагомера. Для измерения естественной дневной двигательной активности шагомер надевается всем детям и снимается в определенный временной диапазон (например, с 8 до 17 или 19). В этот день не следует стиму ...

Формирование интереса у младшего школьников на интегрированных уроках изобразительного искусства
Использование различных видов работы на интегрированных уроков поддерживает внимание учеников на высоком уровне, что позволяет говорить о развивающей эффективности таких уроков. Это могут быть уроки изобразительного искусства с привлечением учебного материала смежных предметов а так же проведение, ...

Методические требования к художественным текстам для домашнего чтения на старшей стадии обучения учащихся иностранному языку
Для успешной организации процесса обучения самостоятельному чтению представляется важным рассмотреть требования к текстам. Основу типологической общности текстового материала для домашнего чтения на средней стадии обучения иностранному языку, на наш взгляд должны составлять требования к: 1) жанру, ...