Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на интервале .

Пример №21 (№164 из [8], студент самостоятельно у доски).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на интервале .

Решение

Если , то - условие равномерной сходимости не выполняется.

Если , то . Ряд мажорантный по отношению к ряду . По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем: . Так как , то числовой ряд сходится. Значит, по теореме Вейерштрасса равномерно сходимости функциональных рядов, так как при , ряд сходится равномерно и абсолютно.

Ответ: Равномерно и абсолютно сходится при .

Преподаватель: Доказательство равномерной сходимости может быть и вспомогательной задачей, которую необходимо решить, чтобы выполнить основное задание.

Пример №22 (№94 из [10], с комментариями преподавателя).

Показать, что на луче функциональный ряд

равномерно сходится. Начиная с какого номера , остаток ряда (независимо от значения ) удовлетворяет неравенству ?.

Решение

Воспользуемся признаком Вейерштрасса.

Так как при справедливо неравенство: , то элементы заданного функционального ряда на указанном промежутке не больше соответствующих членов положительного числового ряда , т.е. при .

Числовой положительный ряд сходится, так как представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с

, , .

Значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при .

Для оценки остатка заданного функционального ряда подсчитаем остаток числового положительного (мажорантного) ряда:

, где .

Образование, педагогика, воспитание:

Графика. Стили и материалы. Особенности выполнения графических работ
Во-первых, графика это искусство, основой которого является рисунок. Линия, пятно и светотень являются основными изобразительными средствами графики. График, используя контрасты только черного и белого в рисунке или гравюре, убедительно передает широкий слепящий поток открытого прямого света. Цвет ...

Повышение компетентности педагогов в области интегрированного обучения детей с особыми образовательными потребностями в массовой школе
В Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. отмечается: «дети с ограниченными возможностями здоровья должны обеспечиваться медико-социальным сопровождением и специальными условиями для обучения в общеобразовательном ДОУ и школе по месту жительства». По статистическим данны ...

Физическая подготовленность детей дошкольного возраста
Физическое воспитание в детском саду и начальной школе предусматривает охрану и укрепление здоровья, полноценное физическое развитие и направлено на своевременное формирование у детей двигательных навыков и умений. Гармонично развитые физические качества играют решающую роль в игровой и других вида ...