Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на интервале .

Пример №21 (№164 из [8], студент самостоятельно у доски).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на интервале .

Решение

Если , то - условие равномерной сходимости не выполняется.

Если , то . Ряд мажорантный по отношению к ряду . По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем: . Так как , то числовой ряд сходится. Значит, по теореме Вейерштрасса равномерно сходимости функциональных рядов, так как при , ряд сходится равномерно и абсолютно.

Ответ: Равномерно и абсолютно сходится при .

Преподаватель: Доказательство равномерной сходимости может быть и вспомогательной задачей, которую необходимо решить, чтобы выполнить основное задание.

Пример №22 (№94 из [10], с комментариями преподавателя).

Показать, что на луче функциональный ряд

равномерно сходится. Начиная с какого номера , остаток ряда (независимо от значения ) удовлетворяет неравенству ?.

Решение

Воспользуемся признаком Вейерштрасса.

Так как при справедливо неравенство: , то элементы заданного функционального ряда на указанном промежутке не больше соответствующих членов положительного числового ряда , т.е. при .

Числовой положительный ряд сходится, так как представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с

, , .

Значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при .

Для оценки остатка заданного функционального ряда подсчитаем остаток числового положительного (мажорантного) ряда:

, где .

Образование, педагогика, воспитание:

Психофизиологические особенности детей старшего дошкольного возраста с задержкой психического развития
Рост требований к личности ребенка, среди которых ранние сроки начала обучения, усложнение образовательных программ определяют необходимость своевременного выявления пограничных состояний интеллектуальной недостаточности современных дошкольников. Задержка психического развития у детей чаще всего об ...

Требования к отчету по преддипломной практике
Во время прохождения практики студент составляет подробный отчет о практике. Объем отчета, ориентировочно, включая схемы, графики, образцы документов и фрагменты необходимых программ должен составлять порядка 30 стр. Отчет должен содержать следующие разделы: описание информационных потоков производ ...

Ознакомление с основами правового сознания детей дошкольного возраста
По рекомендации ЮНЕСКО (1974 г.) обучение правам человека, т. е. правовое воспитание, предлагается начинать еще на дошкольном уровне. Сегодня в отечественной дошкольной педагогике эта проблема только разрабатывается, вызывая интерес у исследователей и практиков. Для правового образования детей педа ...