Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Пример№30 (№ 343 из [7], с комментариями преподавателя).

Можно ли к ряду

применить теорему о почленном дифференцировании рядов?

Решение

Известно, что почленное дифференцирование функционального ряда возможно, если члены ряда и их производные непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных, сходятся в данном промежутке равномерно.

Сравним исследуемый функциональный ряд с функциональным рядом при любом фиксированном .

Предварительно заметим, что функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса.

Действительно, при R справедливо неравенство . А положительный числовой ряд является сходящимся. Это ряд Дирихле (или обобщенный гармонический ряд с ).

Обозначим общие элементы сравниваемых рядов Так как при и - бесконечно малые величины, то . В соответствии со вторым признаком сравнения рядов, так как существует конечный, отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Но ряд абсолютно и равномерно сходится для R, значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при . Кроме того, члены ряда - непрерывные функции при R.

Найдем производную общего элемента функционального ряда

: .

Ряд, составленный из производных членов исходного функционального ряда, имеет вид:

.

Все элементы записанного ряда представляют собой непрерывные функции на R.

Докажем, что ряд равномерно и абсолютно сходится на R.

Очевидно, что для R выполняется следующие неравенства: . Но числовой положительный ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом (ряд Дирихле) с . В соответствии с признаком Вейерштрасса, будет равномерно и аболютно сходиться ряд при R. А это ряд, составленный из производных чледов исследуемого функционального ряда.

Образование, педагогика, воспитание:

История становления и развития музыки православной церкви на Украине и в России
Вопросам истории церковного пения в России и на Украине посвящён ряд работ, созданных в большинстве своём в XIX , начале ХХ веков. Это исследования Д. Аллеманова, В. Металлова, А. Преображенского, Д. Разумовского, Н. Финдейзена. Во второй половине ХХ века эта сфера музыкальной культуры рассматривал ...

Материалы и оборудование для работы акварелью
Акварель – прекрасный материал для работы на пленере. Она дает возможность быстро и точно передать состояние природы. Этюды акварелью пишутся в технике «а-ля прима» или «по-сырому». Основой для акварели является бумага, которую часто предварительно смачивают водой для достижения особой размытой фор ...

Динамика физической подготовленности детей 6 лет в процессе педагогического эксперимента
Анализ достоверности внутригрупповых различий физической подготовленности в контрольной и экспериментальной группах, осуществляемый по интегральным показателям, позволил выявить следующее (табл. 6). По количеству и уровню достоверно изменившихся показателей за учебный год выявлено преимущество дете ...