Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Пример№30 (№ 343 из [7], с комментариями преподавателя).

Можно ли к ряду

применить теорему о почленном дифференцировании рядов?

Решение

Известно, что почленное дифференцирование функционального ряда возможно, если члены ряда и их производные непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных, сходятся в данном промежутке равномерно.

Сравним исследуемый функциональный ряд с функциональным рядом при любом фиксированном .

Предварительно заметим, что функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса.

Действительно, при R справедливо неравенство . А положительный числовой ряд является сходящимся. Это ряд Дирихле (или обобщенный гармонический ряд с ).

Обозначим общие элементы сравниваемых рядов Так как при и - бесконечно малые величины, то . В соответствии со вторым признаком сравнения рядов, так как существует конечный, отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Но ряд абсолютно и равномерно сходится для R, значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при . Кроме того, члены ряда - непрерывные функции при R.

Найдем производную общего элемента функционального ряда

: .

Ряд, составленный из производных членов исходного функционального ряда, имеет вид:

.

Все элементы записанного ряда представляют собой непрерывные функции на R.

Докажем, что ряд равномерно и абсолютно сходится на R.

Очевидно, что для R выполняется следующие неравенства: . Но числовой положительный ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом (ряд Дирихле) с . В соответствии с признаком Вейерштрасса, будет равномерно и аболютно сходиться ряд при R. А это ряд, составленный из производных чледов исследуемого функционального ряда.

Образование, педагогика, воспитание:

Состояние произношение учащихся с нарушенным слухом
С одно стороны, подходя к характеристике произношения, необходимо, прежде всего, выяснить, насколько оно обеспечивает понимание устной речи учащихся окружающими. С другой стороны, следует, по-видимому, выяснить в какой мере произношение учащихся способно обеспечить им кинестетическую базу мышления. ...

Специфика обучения и воспитания детей с нарушениями слуха
Глухой и слабослышащий ребенок, как и слышащий, при рождении — существо, открытое миру, которому необходимо воспитание как помощь в жизни. В соответствии со своей биологической сущностью он способен к обучению и может в процессе социализации получить воспитание и образование, которые станут предпос ...

Определения функциональной последовательности и функционального ряда
Опр.1. Пусть дана последовательность функций: , причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной и обозначается: . Пусть для каждого эта последовательность имеет конечный предел. Величина этого предела зависит о ...