Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Пример№30 (№ 343 из [7], с комментариями преподавателя).

Можно ли к ряду

применить теорему о почленном дифференцировании рядов?

Решение

Известно, что почленное дифференцирование функционального ряда возможно, если члены ряда и их производные непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных, сходятся в данном промежутке равномерно.

Сравним исследуемый функциональный ряд с функциональным рядом при любом фиксированном .

Предварительно заметим, что функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса.

Действительно, при R справедливо неравенство . А положительный числовой ряд является сходящимся. Это ряд Дирихле (или обобщенный гармонический ряд с ).

Обозначим общие элементы сравниваемых рядов Так как при и - бесконечно малые величины, то . В соответствии со вторым признаком сравнения рядов, так как существует конечный, отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Но ряд абсолютно и равномерно сходится для R, значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при . Кроме того, члены ряда - непрерывные функции при R.

Найдем производную общего элемента функционального ряда

: .

Ряд, составленный из производных членов исходного функционального ряда, имеет вид:

.

Все элементы записанного ряда представляют собой непрерывные функции на R.

Докажем, что ряд равномерно и абсолютно сходится на R.

Очевидно, что для R выполняется следующие неравенства: . Но числовой положительный ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом (ряд Дирихле) с . В соответствии с признаком Вейерштрасса, будет равномерно и аболютно сходиться ряд при R. А это ряд, составленный из производных чледов исследуемого функционального ряда.

Образование, педагогика, воспитание:

Игры с использованием предметных и сюжетных картинок
Уже в конце первого года ребенок тянется к красочной картинке, радуясь изображению. Малыш не сразу отличает реальный предмет от его изображения на картинке. Он относится к рисунку как к игрушке, к вещи, пытаясь взять нарисованный мячик, укусить яблоко. С помощью взрослого малыш постепенно устанавли ...

Технология педагогических мастерских
Существующая система образования в значительной степени построена на передаче знаний от учителя к ученику, на пассивной позиции обучающегося, что не позволяет личности самой строить свое знание, активно и творчески пользоваться им в жизни как свои приобретением. Этот подход к образованию не раскрыв ...

Игры и упражнения с предметами
В воспитании детей раннего возраста очень важным является обогащение и совершенствование чувственного опыта в процессе деятельности. Характерной для этой возрастной ступени деятельностью является деятельность предметная. Ее называют ведущей не только потому, что она преобладает, но и потому, что им ...