Пример№30 (№ 343 из [7], с комментариями преподавателя).
Можно ли к ряду
применить теорему о почленном дифференцировании рядов?
Решение
Известно, что почленное дифференцирование функционального ряда возможно, если члены ряда и их производные непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных, сходятся в данном промежутке равномерно.
Сравним исследуемый функциональный ряд с функциональным рядом при любом фиксированном .
Предварительно заметим, что функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при R в соответствии с признаком Вейерштрасса.
Действительно, при R справедливо неравенство . А положительный числовой ряд является сходящимся. Это ряд Дирихле (или обобщенный гармонический ряд с ).
Обозначим общие элементы сравниваемых рядов Так как при и - бесконечно малые величины, то . В соответствии со вторым признаком сравнения рядов, так как существует конечный, отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Но ряд абсолютно и равномерно сходится для R, значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при . Кроме того, члены ряда - непрерывные функции при R.
Найдем производную общего элемента функционального ряда
: .
Ряд, составленный из производных членов исходного функционального ряда, имеет вид:
.
Все элементы записанного ряда представляют собой непрерывные функции на R.
Докажем, что ряд равномерно и абсолютно сходится на R.
Очевидно, что для R выполняется следующие неравенства: . Но числовой положительный ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом (ряд Дирихле) с . В соответствии с признаком Вейерштрасса, будет равномерно и аболютно сходиться ряд при R. А это ряд, составленный из производных чледов исследуемого функционального ряда.
Образование, педагогика, воспитание:
Анализ
результатов коррекции нарушений графомоторных навыков у детей младшего школьного
возраста с нарушением интеллекта
После проведения коррекционной работы по устранению нарушений графомоторных навыков, нами была проведена повторная диагностика уровня сформированности графомоторных навыков у детей младшего школьного возраста с нарушением интеллекта. В исследовании принимали участие те же ученики второго класса с и ...
Система физкультурно-оздоровительной работы в ДОУ
Мероприятия Возрастные группы Периодичность Кто проводит Обследование 1. Обследование уровня физического развития, физической подготовленности детей 2. Диспансеризация Все Ср., ст., подгот. 2 раза в год (сентябрь, май) 1 раз в год Ст. медсестра Воспитатель по физической культуре Воспитатели групп С ...
Средства повышения двигательной активности
умственно отсталых учащихся
Физическое воспитание, применительно к системе специальных коррекционных школ, мы понимаем как учебно-педагогический процесс, направленный на обучение двигательным действиям, на управление развитием физических качеств и на коррекцию двигательных нарушения, имеющихся у учащихся этих школ. В фундамен ...