Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?

Решение

Функциональный ряд можно почленно продифференцировать, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных членов его ряда, сходятся равномерно на данном промежутке.

Рассмотрим заданный функциональный ряд :

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Составим ряд из производных членов заданного функционального ряда

.

Исследуем полученный функциональный ряд:

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно дифференцировать.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании применить можно.

Пример №36 (№96 из [10]).

Можно ли к ряду применить теорему об интегрировании функциональных рядов в любом конечном промежутке ?

Решение

Функциональный ряд можно почленно интегрировать на отрезке , если на указанном промежутке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R.

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке .

Образование, педагогика, воспитание:

Личностно-ориентированный урок: технология проведения
Урок – основной элемент образовательного процесса, но в системе личностно-ориентированного обучения меняется его функция, форма организации. Личностно ориентированный урок в отличие от традиционного в первую очередь изменяет тип взаимодействия «учитель-ученик». От командного стиля педагог переходит ...

Понятие грамматического строя языка
В начале нашего исследования необходимо уточнить терминологический аппарат, который будет использоваться в курсовой работе. Тема исследования звучит, как «Развитие грамматического строя учащихся на уроках русского языка», из чего понятно, что основным понятием будет являться собственно грамматическ ...

Особенности культурного воспитания детей старшего дошкольного возраста в ДОУ
В условиях духовного возрождения общества, роста его национального самосознания закономерен интерес к освоению культурного пространства как корневой системе, питающей современное общество, способствующей духовному оздоровлению всего народа. Не случайно так остро встал вопрос необходимости гуманизац ...