применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?
Решение
Функциональный ряд можно почленно продифференцировать, если члены ряда и производные его членов непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных членов его ряда, сходятся равномерно на данном промежутке.
Рассмотрим заданный функциональный ряд :
a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;
б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;
в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );
г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.
Составим ряд из производных членов заданного функционального ряда
.
Исследуем полученный функциональный ряд:
a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;
б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;
в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );
г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.
Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно дифференцировать.
Ответ: Теорему о почленном дифференцировании применить можно.
Пример №36 (№96 из [10]).
Можно ли к ряду применить теорему об интегрировании функциональных рядов в любом конечном промежутке ?
Решение
Функциональный ряд можно почленно интегрировать на отрезке , если на указанном промежутке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.
Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R.
Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке .
Образование, педагогика, воспитание:
Национальные сказки, их значения для всеобщего развития ребенка
Этнопедагогика народа, создаваемая веками, включает в себя множество элементов, составляющих единую систему воспитания подрастающего поколения. Задача ставилась одна: вырастить человека, способного выжить в этом (часто враждебном) мире. И всё это - через участие в сложной системе религиозных (реже ...
Характеристика
приемов коррекции нарушений графомоторных навыков у детей младшего школьного возраста
с нарушением интеллекта
Задачи обучения русскому языку в школе VIII вида: Научить правильно и осмысленно читать доступные для понимания тексты. Сформировать навыки и умения грамотно писать на основе усвоения звукового состава языка и элементарных сведений по грамматике и правописанию. Повысить уровень общего развития учащ ...
Определение понятия речевой деятельности
Речь человека – сложившаяся исторически в процессе материальной преобразующей деятельности людей форма общения, опосредствованная языком. Речь является деятельностью, в процессе которой люди общаются друг с другом при посредстве языка. С помощью речи (внутренней и внешней) осуществляется также чело ...