Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, заданный ряд равномерно и абсолютно сходится при .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость при .

Пример №18 (№89 из [10], c комментариями преподавателя).

С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд

сходится равномерно в промежутке .

Решение

Так как при R и числовой положительный ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с , то заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при любых значениях .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость для R.

Пример №19 (№79 из [10], студент с помощью преподавателя).

Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке .

Решение

Если , то . Значит, числовой положительный ряд является мажорантным. По признаку Даламбера абсолютной сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.

Следовательно, по теореме Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов, ряд сходится при равномерно и абсолютно.

Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.

Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.

Итак, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на отрезке . Пример №20 (№52 из [10], студент самостоятельно у доски).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.

Решение

Так как при N и R, то в качестве мажорантного ряда выберем - числовой положительный ряд (ряд Дирихле). Он сходится. Следовательно, и ряд по теореме Вейерштрасса равномерно и абсолютно сходится, так как при R

Образование, педагогика, воспитание:

Теоретические основы формирования экологической компетентности будущего инженера
В России уровень смертности населения трудоспособных возрастов от несчастных случаев, отравлений и травм, в том числе производственных, в настоящее время соответствует аналогичным показателям столетней давности, почти в 2,5 раза превышает показатели, сложившиеся в развитых странах, и в 1,5 раза ...

Игры, способствующие развитию доброжелательного микроклимата в группе
Цель этих игр: Учить детей находить, показывать и, по-возможности, произносить имена сверстников и сотрудников группы, воспитывать дружелюбие и желание играть друг с другом. Развивать общительность и хорошие взаимоотношения с окружающими людьми. Вызвать положительные эмоции. Покажи, кого назову Ход ...

Изучение особенностей развития некоторых сторон позновательной деятельности детей с недостатками слуха дошкольного и младшего школьного возраста
Теоретические положения Л. С. Выготского о сложной структуре аномального развития ребенка, разграничении первичных и вторичных нарушений в психическом развитии способствовали нового подхода к рассмотрению особенностей позновательной деятельности детей с недостатками слуха ( Р.М.Боскис, Т.А.Власова, ...