Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, заданный ряд равномерно и абсолютно сходится при .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость при .

Пример №18 (№89 из [10], c комментариями преподавателя).

С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд

сходится равномерно в промежутке .

Решение

Так как при R и числовой положительный ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с , то заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при любых значениях .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость для R.

Пример №19 (№79 из [10], студент с помощью преподавателя).

Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке .

Решение

Если , то . Значит, числовой положительный ряд является мажорантным. По признаку Даламбера абсолютной сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.

Следовательно, по теореме Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов, ряд сходится при равномерно и абсолютно.

Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.

Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.

Итак, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на отрезке . Пример №20 (№52 из [10], студент самостоятельно у доски).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.

Решение

Так как при N и R, то в качестве мажорантного ряда выберем - числовой положительный ряд (ряд Дирихле). Он сходится. Следовательно, и ряд по теореме Вейерштрасса равномерно и абсолютно сходится, так как при R

Образование, педагогика, воспитание:

Игры и упражнения для сенсорного развития
Сенсорное развитие ребенка – это развитие его восприятия и формирование представлений о внешних свойствах предметов: их форме, цвете, величине, положении в пространстве, а так же запахе, вкусе и т.п. Значение сенсорного развития в раннем и дошкольном детстве трудно переоценить. Именно этот возраст ...

Формирование культурно-гигиенических навыков у младших дошкольников
Культурно-гигиенические навыки – важная составная часть культуры поведения. Необходимость опрятности, содержания в чистоте лица, рук, тела, одежды, обуви продиктованная не только требованиями гигиены, но и нормами человеческих отношений. С первых дней жизни при формировании культурно-гигиенических ...

Жанровая типология церковной музыки православного обряда
Главная цель литургических жанров – выразить видимыми и слышимыми средствами невидимое и неслышимое. Они указывают на ту Божественную реальность, которая присутствует в центральном христианском таинстве – Евхаристии. С помощью богослужебных жанров эта реальность является людям, а они, в свою очеред ...