Значит, заданный ряд равномерно и абсолютно сходится при
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость при .
Пример №18 (№89 из [10], c комментариями преподавателя).
С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд
сходится равномерно в промежутке .
Решение
Так как при
R и числовой положительный ряд
сходится, как обобщенный гармонический ряд с
, то заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при любых значениях
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость для R.
Пример №19 (№79 из [10], студент с помощью преподавателя).
Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке
.
Решение
Если , то
. Значит, числовой положительный ряд
является мажорантным. По признаку Даламбера абсолютной сходимости числовых рядов имеем:
, так как
, то числовой ряд сходится абсолютно.
Следовательно, по теореме Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов, ряд сходится при
равномерно и абсолютно.
Если , то ряд примет вид
- сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.
Если , то ряд примет вид
- сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.
Итак, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на отрезке . Пример №20 (№52 из [10], студент самостоятельно у доски).
Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.
Решение
Так как при
N и
R, то в качестве мажорантного ряда выберем
- числовой положительный ряд (ряд Дирихле). Он сходится. Следовательно, и ряд
по теореме Вейерштрасса равномерно и абсолютно сходится, так как
при
R
Образование, педагогика, воспитание:
Психологические и психофизиологические особенности
младших школьников
Тенденции развития психологических свойств такова: от большей слабости и инертности нервной системы в раннем возрасте к увеличению ее выносливости и подвижности по мере взросления. Это означает, что младшие школьники, особенно первоклассники, быстро достигают предела работоспособности, в очень мало ...
Развитие российского законодательства в области образования
Преемственность образовательных традиций в современной российской высшей школе требует изучения истории становления российского образовательного права. Законов прямого действия в области образования, по существу, в Российской Федерации до 1992 года не было. Современное образовательное право возникл ...
Сущность и специфика педагогической задачи
С незапамятных времен понятие "задача" используется и в теории, и в практике педагогики. Оно употребляется обычно для описания форм предъявления учебного материала и специальных учебных заданий. Педагогическую задачу надо понимать как систему особого рода, представляющую собой основную ед ...