Значит, заданный ряд равномерно и абсолютно сходится при
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость при .
Пример №18 (№89 из [10], c комментариями преподавателя).
С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд
сходится равномерно в промежутке .
Решение
Так как при
R и числовой положительный ряд
сходится, как обобщенный гармонический ряд с
, то заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при любых значениях
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость для R.
Пример №19 (№79 из [10], студент с помощью преподавателя).
Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке
.
Решение
Если , то
. Значит, числовой положительный ряд
является мажорантным. По признаку Даламбера абсолютной сходимости числовых рядов имеем:
, так как
, то числовой ряд сходится абсолютно.
Следовательно, по теореме Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов, ряд сходится при
равномерно и абсолютно.
Если , то ряд примет вид
- сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.
Если , то ряд примет вид
- сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.
Итак, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке
.
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на отрезке . Пример №20 (№52 из [10], студент самостоятельно у доски).
Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.
Решение
Так как при
N и
R, то в качестве мажорантного ряда выберем
- числовой положительный ряд (ряд Дирихле). Он сходится. Следовательно, и ряд
по теореме Вейерштрасса равномерно и абсолютно сходится, так как
при
R
Образование, педагогика, воспитание:
Психофизиологические особенности детей старшего дошкольного возраста с
задержкой психического развития
Рост требований к личности ребенка, среди которых ранние сроки начала обучения, усложнение образовательных программ определяют необходимость своевременного выявления пограничных состояний интеллектуальной недостаточности современных дошкольников. Задержка психического развития у детей чаще всего об ...
Адаптация и социализация детей из семей мигрантов
Основная доля мигрантов, проживающих в городе Лянторе - это граждане иностранных государств ближнего зарубежья, не являющиеся беженцами. В МОУ "ЛСОШ №5" на 2009-2010 учебный год обучается 14 учащихся из семей мигрантов, трое из них слабо владеют русским языком. Слабое знание детьми мигран ...
Профессиональная квалификация педагога
Нормативы и сферы деятельности педагога в принципе неизменяемы, а вот его становление — движение от возможного к действительному, начинаясь с предпрофессионального поиска себя, затем профессионального образования и продолжаясь в ходе работы по специальности, — во всех его аспектах индивидуально, т. ...