Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Значит, заданный ряд равномерно и абсолютно сходится при .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость при .

Пример №18 (№89 из [10], c комментариями преподавателя).

С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд

сходится равномерно в промежутке .

Решение

Так как при R и числовой положительный ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с , то заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при любых значениях .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость для R.

Пример №19 (№79 из [10], студент с помощью преподавателя).

Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке .

Решение

Если , то . Значит, числовой положительный ряд является мажорантным. По признаку Даламбера абсолютной сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.

Следовательно, по теореме Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов, ряд сходится при равномерно и абсолютно.

Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.

Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.

Итак, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке .

Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на отрезке . Пример №20 (№52 из [10], студент самостоятельно у доски).

Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.

Решение

Так как при N и R, то в качестве мажорантного ряда выберем - числовой положительный ряд (ряд Дирихле). Он сходится. Следовательно, и ряд по теореме Вейерштрасса равномерно и абсолютно сходится, так как при R

Образование, педагогика, воспитание:

Методические рекомендации к проведению пальчиковых игр
1) Перед игрой с ребенком обсудить ее содержание, сразу при этом отрабатывая необходимые жесты, комбинация пальцев, движения. Это не только позволит подготовит малыша к правильному выполнению упражнения, но и создаст необходимый эмоциональный настрой. 2) Перед началом упражнений дети разогревают ла ...

Экспериментальное исследование эффективности применения дидактических игр в процессе обучения информатике
Планирование экспериментальной части данного исследования осуществлялось с учётом основных требований к логике и организации педагогического эксперимента: определили цель, гипотезу, задачи, методы эксперимента и т.д. Перейдём к их конкретному описанию. Целью экспериментальной части исследования яви ...

Передача состояния времен года в картинах художников
Пейзаж завоевал место одного из ведущих жанров живописи. Его язык стал, подобно поэзии, способом проявления высоких эстетических чувств художника, областью искусства, в которой выражаются глубокие и серьезные истины о жизни и судьбах человечества. Вглядываясь в произведения пейзажной живописи, прис ...