Значит, заданный ряд равномерно и абсолютно сходится при .
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость при .
Пример №18 (№89 из [10], c комментариями преподавателя).
С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд
сходится равномерно в промежутке .
Решение
Так как при R и числовой положительный ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с , то заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при любых значениях .
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость для R.
Пример №19 (№79 из [10], студент с помощью преподавателя).
Показать, что ряд сходится равномерно на отрезке .
Решение
Если , то . Значит, числовой положительный ряд является мажорантным. По признаку Даламбера абсолютной сходимости числовых рядов имеем: , так как , то числовой ряд сходится абсолютно.
Следовательно, по теореме Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов, ряд сходится при равномерно и абсолютно.
Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.
Если , то ряд примет вид - сходится. Значит, и заданный функциональный ряд сходится равномерно.
Итак, ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке .
Ответ: Доказана равномерная и абсолютная сходимость на отрезке . Пример №20 (№52 из [10], студент самостоятельно у доски).
Исследовать на равномерную сходимость ряд на всей числовой оси.
Решение
Так как при N и R, то в качестве мажорантного ряда выберем - числовой положительный ряд (ряд Дирихле). Он сходится. Следовательно, и ряд по теореме Вейерштрасса равномерно и абсолютно сходится, так как при R
Образование, педагогика, воспитание:
Создание положительного эмоционального фона на уроке
Эмоциональный фон является важным фактором урока. Он возникает с момента ожидания учащимися урока физической культуры и существует на всем его протяжении. При этом эмоциональный настрой может изменяться по ходу урока в зависимости от самочувствия учащихся, проявляемого ими интереса к упражнению, в ...
Обучение дошкольников началам математики
Развитие элементарных математических представлений у дошкольников – особая область познания, в которой при условии последовательного обучения можно целенаправленно формировать абстрактное логическое мышление, повышать интеллектуальный уровень. В условиях систематического обучения ребенок может выде ...
Классификация педагогических игр
Как уже было сказано выше, педагогическая игра отличается чёткостью постановки цели и соответствующим ей педагогическим результатом. Так же педагогическая игра имеет свою классификацию, которую мы рассмотрим в данной работе. Место и роль игровой технологии в учебном процессе, сочетание элементов иг ...