Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.

Определим сходимость ряда в точках и .

Если , то ряд примет вид - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке .

Если , то ряд примет вид - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке .

Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ: .

Пример №14 (№15 из [10]).

Найти сумму ряда

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

.

Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, в точке исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а) ; б) . Значит, функциональный ряд в точке расходится. Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.

На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:

, где .

Тогда, при .

Ответ: при .

Образование, педагогика, воспитание:

Развитие технического творчества учащихся при изучении спецдисциплин и в кружковой работе
Особое место в работе педагогических коллективов профтехучилищ должны занимать вопросы совершенствования методики организации занятий по техническому творчеству во внеучебное время. Это организация технических кружков, кружки по углубленному изучению профессии и предметов общетехнического цикла. В ...

Знакомство с деятельностью классного руководителя
Направления в работе (выясняются из беседы с классным руководителем) Работа направлена на формирование глубоких и прочных знании, коммуникативную компетентность, развитие инициативы, познавательного интереса к предмету, творческого мышления, самостоятельность обучающихся, умение планировать, прогно ...

Организация учебного процесса в традиционном направлении отечественной методики
Традиционная методика, принимая за лингвистические основы неофилологическую теорию речевой деятельности Л.В. Щербы, предполагает выявление условий и способов организации учебного процесса с позиции функционального социолингвистического подхода, определяемого этой теорией. Неофилологическая теория р ...