Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.

Определим сходимость ряда в точках и .

Если , то ряд примет вид - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке .

Если , то ряд примет вид - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке .

Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ: .

Пример №14 (№15 из [10]).

Найти сумму ряда

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

.

Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, в точке исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а) ; б) . Значит, функциональный ряд в точке расходится. Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.

На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:

, где .

Тогда, при .

Ответ: при .

Образование, педагогика, воспитание:

Принцип связи с жизнью, личным опытом учащихся
В преподавании происхождения сущности государства и права учителю важно опираться на жизненные факты, близкие ученикам, тем самым реализуется принцип связи с жизнью, личным опытом учащихся, который предполагает расширение, углубление и обогащение правовых знаний учащихся и одновременно избавление у ...

Значение интереса к урокам физической культуре в повышении активности учащихся на уроке
Интересы учащихся к уроку физической культуры бывают разными. Это и стремление укрепить здоровье, сформировать осанку, это и желание развить двигательные и волевые качества. Интересы мальчиков и девочек различны: девочки чаще всего думают о красивой фигуре, гибкости, изяществе движений и походки, р ...

Медико-педагогический контроль
Кроме работы по оказанию помощи педагогам, родителям, необходимо помнить и о функциях контроля за санитарно-гигиеническим состоянием мест пребывания детей, физической подготовленностью, уровнем физического, интеллектуального, эмоционально-нравственного развития. Для этого в дошкольном учреждении ор ...