Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.
Определим сходимость ряда в точках и
.
Если , то ряд примет вид
- числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
. Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке
.
Если , то ряд примет вид
- числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
. Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке
.
Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ:
.
Пример №14 (№15 из [10]).
Найти сумму ряда
.
Решение
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:
.
Если , т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.
Если , т.е.
, исследуемый функциональный ряд расходится.
При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
. Следовательно, в точке
исследуемый функциональный ряд расходится.
При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а)
; б)
. Значит, функциональный ряд в точке
расходится. Значит,
- область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.
На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:
, где
.
Тогда, при
.
Ответ: при
.
Образование, педагогика, воспитание:
Физическое воспитание – одна из важных сторон гармоничного развития
личности ребенка дошкольного возраста
В качестве одного из видов воспитания физическое воспитание представляет собой воспитательно-образовательный процесс, характеризующийся всеми присущими педагогическому процессу общими признаками (ведущая роль педагога специалиста, направленность деятельности воспитателя и воспитуемых на реализацию ...
Игры, развивающие внимание и слуховое восприятие
С самого рождения ребенка окружает множество звуков: шум ветра и дождя, шелест листьев, лай собак, сигналы машин, музыка, речь людей и т.д. Но все эти слуховые впечатления воспринимаются малышом неосознанно, сливаясь с другими, боле важными для него сигналами. Ребенок пока еще не умеет управлять св ...
Диагностика двинательной активности детей дошкольного возраста
Определение объема двигательной активности производится при помощи механического и электронного шагомера. Для измерения естественной дневной двигательной активности шагомер надевается всем детям и снимается в определенный временной диапазон (например, с 8 до 17 или 19). В этот день не следует стиму ...