Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.
Определим сходимость ряда в точках и
.
Если , то ряд примет вид
- числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
. Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке
.
Если , то ряд примет вид
- числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
. Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке
.
Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ:
.
Пример №14 (№15 из [10]).
Найти сумму ряда
.
Решение
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:
.
Если , т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.
Если , т.е.
, исследуемый функциональный ряд расходится.
При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
. Следовательно, в точке
исследуемый функциональный ряд расходится.
При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а)
; б)
. Значит, функциональный ряд в точке
расходится. Значит,
- область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.
На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:
, где
.
Тогда, при
.
Ответ: при
.
Образование, педагогика, воспитание:
Дидактические процессы в предмете физическая культура
Спорт – это значимое социальное явление, несмотря на это он совсем недавно попал в область внимания социологов. До сих пор существует мнение, что он прерогатива спортивных наук. Все же сегодня большинство исследователей согласны с тем, что его нужно изучать не только с точки зрения физкультурной те ...
Классификация технических средств обучения
Комплекс технических средств, предлагаемых для использования в процессе обучения, год от года становится всё сложнее и многообразнее. От умения педагога эффективно использовать эти средства в немалой степени зависит конечный результат восприятия учениками новой для них информации. Технические средс ...
Развитие самосознания в процессе профессионального самоопределения
Процесс профессионального самоопределения включает развитие самосознания личности. В работах И.С. Кона, В.П. Тугаринова, В.А. Ядова и др. представлен философско-социологический аспект проблемы самосознания. Различные аспекты самосознания в контексте развития личности проанализированы в трудах отече ...