Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.

Определим сходимость ряда в точках и .

Если , то ряд примет вид - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке .

Если , то ряд примет вид - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке .

Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ: .

Пример №14 (№15 из [10]).

Найти сумму ряда

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

.

Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, в точке исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а) ; б) . Значит, функциональный ряд в точке расходится. Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.

На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:

, где .

Тогда, при .

Ответ: при .

Образование, педагогика, воспитание:

Методическая организация грамматического материала в учебных целях
Проблема организации грамматического материала связана с вопросом о единице усвоения. Следует различать понятия «единица усвоения» и «объект усвоения». Так, М.М. Гохлернер считает, что «единицей усвоения должна стать не грамматическая тема, например, «Порядок слов в предложении», а понятие «структу ...

Типы современного урока истории
В современной педагогической науке выделяют следующие наиболее общепринятые типы уроков: уроки новых знаний; уроки анализа и синтеза знаний; уроки формирования навыков и умений; уроки диагностики знаний, навыков и умений. Рассмотрим каждый из типов занятий и входящие в них формы и виды уроков. 1. У ...

Сущность понятия урок в современном ракурсе
В данной главе рассматривается и анализируется современный урок истории. Здесь автор анализирует сущность самого понятия урок, рассматривает проблемы связанные со структурой, типом и классификацией современного урока истории. Значительное место в данной главе уделяется проблеме подготовке учителя к ...