Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.

Определим сходимость ряда в точках и .

Если , то ряд примет вид - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке .

Если , то ряд примет вид - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке .

Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ: .

Пример №14 (№15 из [10]).

Найти сумму ряда

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

.

Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, в точке исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а) ; б) . Значит, функциональный ряд в точке расходится. Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.

На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:

, где .

Тогда, при .

Ответ: при .

Образование, педагогика, воспитание:

Антонимы в русском языке
Особое место в русском языке занимают антонимы - слова, противоположные по значению. Антонимия отражает существенную сторону системных связей в русской лексике. Современная наука о языке рассматривает синонимию и антонимию как крайние, предельные случаи взаимозаменяемости и противопоставленности сл ...

Классификация, виды и типы средств наглядности при обучении истории
При словесном описании на уроках истории событий и явлений прошлого в подавляющем числе случаев не имеется возможности опереться на непосредственное наблюдение учащимися предметов описания или повествования потому, что это явление уже прошедшее, недоступное живому, непосредственному восприятию обуч ...

История становления и развития музыки православной церкви на Украине и в России
Вопросам истории церковного пения в России и на Украине посвящён ряд работ, созданных в большинстве своём в XIX , начале ХХ веков. Это исследования Д. Аллеманова, В. Металлова, А. Преображенского, Д. Разумовского, Н. Финдейзена. Во второй половине ХХ века эта сфера музыкальной культуры рассматривал ...