Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.

Определим сходимость ряда в точках и .

Если , то ряд примет вид - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке .

Если , то ряд примет вид - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке .

Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ: .

Пример №14 (№15 из [10]).

Найти сумму ряда

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

.

Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, в точке исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а) ; б) . Значит, функциональный ряд в точке расходится. Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.

На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:

, где .

Тогда, при .

Ответ: при .

Образование, педагогика, воспитание:

Методика проведения занятий по обучению детей рассказыванию по картинкам
В методике развития речи обучения рассказыванию по картинам (описание и повествование) разработано в достаточной степени детально. Здесь методика опирается на классическое наследие западной и русской педагогики, использованное позднее применительно к работе с детьми дошкольного возраста Е.И. Плехее ...

Понятие социальной адаптации
Поступление в дошкольное учреждение всегда сопровождается для ребенка определенными психологическими трудностями. Эти трудности возникают в связи с тем, что малыш переходит из знакомой и обычной для него семейной среды в среду дошкольного учреждения. Условия дошкольных учреждений специфичны. Это ос ...

Материалы и оборудование для работы акварелью
Акварель – прекрасный материал для работы на пленере. Она дает возможность быстро и точно передать состояние природы. Этюды акварелью пишутся в технике «а-ля прима» или «по-сырому». Основой для акварели является бумага, которую часто предварительно смачивают водой для достижения особой размытой фор ...