Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Отсюда, - интервал сходимости заданного функционального ряда.

Определим сходимость ряда в точках и .

Если , то ряд примет вид - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, заданный функциональный ряд расходится в точке .

Если , то ряд примет вид - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, исследуемый функциональный ряд расходится в точке .

Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда. Ответ: .

Пример №14 (№15 из [10]).

Найти сумму ряда

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

.

Если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно на указанном интервале.

Если , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1+1+1+… - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е. . Следовательно, в точке исследуемый функциональный ряд расходится.

При функциональный ряд примет вид 1-1+1-1+… - числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как ни одно из двух условий признака Лейбница не выполняется: а) ; б) . Значит, функциональный ряд в точке расходится. Значит, - область абсолютной сходимости заданного функционального ряда.

На области своей сходимости исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии. Сумму этой прогрессии найдем по формулам:

, где .

Тогда, при .

Ответ: при .

Образование, педагогика, воспитание:

Анализ программ и учебников по русскому языку для 1 - 4 классов
В настоящее время в школах осуществляется обучение русскому языку по вариативным авторским программам. Нами были проанализированы учебно-методические комплексы по русскому языку для начальных классов авторов Т.Г. Рамзаевой, Р.Н. Бунеева, Е.В. Бунеевой, О.В. Прониной, Л.М.Зелениной, Т.Е.Хохловой. Пр ...

Динамика физической подготовленности детей 6 лет в процессе педагогического эксперимента
Анализ достоверности внутригрупповых различий физической подготовленности в контрольной и экспериментальной группах, осуществляемый по интегральным показателям, позволил выявить следующее (табл. 6). По количеству и уровню достоверно изменившихся показателей за учебный год выявлено преимущество дете ...

Международные документы о правах ребенка
Благополучие детей и их права всегда вызывали пристальное внимание международного сообщества. Еще в 1924 году Лига Наций приняла Женевскую декларацию прав ребенка. В то время права детей рассматривались в основном в контексте мер, которые необходимо было принять в отношении рабства, детского труда, ...