Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

При получим числовой положительный ряд . Это ряд Дирихле с . Известно, что если , то ряд расходится. Значит, функциональный ряд в точке расходится.

При получим числовой знакочередующийся ряд вида . Он сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов, т.е. и : .

Ряд, составленный из абсолютных величин элементов ряда , имеет вид и является расходящимся.

Значит, функциональный ряд сходится условно в точке x=1.

Итак, область сходимости исследуемого функционального ряда . Абсолютно ряд сходится на интервале .

Ответ: .

Преподаватель: Последний вид заданий, который мы с вами сегодня рассмотрим, - на нахождение суммы функционального ряда.

Пример №8 (№14 из, с комментариями преподавателя).

Найти сумму ряда:

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:

.

Если , т.е. то функциональный ряд сходится абсолютно на интервале .

Если , т.е. , то исследуемый функциональный ряд расходится на указанных промежутках.

При функциональный ряд становится числовым положительным расходящимся рядом , так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. .

Значит, область абсолютной сходимости функционального ряда есть интервал .

Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости.

Если , то исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с . Сумму ряда будем определять по формуле:

.

При сумма ряда .

Образование, педагогика, воспитание:

Развитие творческих способностей учащихся средствами графики
Художественное образование в целом и занятия графикой в частности призвано развивать эстетический и познавательный потенциал личности, стимулировать формирование эстетического сознания как основы культуры личности и основы эстетической деятельности, помогает подросткам самостоятельно освоить культу ...

Методологические основы эмпирического исследования специфики профессионального взаимодействия социального педагога с семьей
Исследование проводилось в период с октября 2009г. по апрель 2010 г. на базе социально-реабилитационного центра для несовершеннолетних г. Курска. В исследовании приняло участие 23 семьи (общее количество человек 69 человек). В исследовании использовались следующие методики. 1. Методика диагностики ...

Жанровая типология церковной музыки православного обряда
Главная цель литургических жанров – выразить видимыми и слышимыми средствами невидимое и неслышимое. Они указывают на ту Божественную реальность, которая присутствует в центральном христианском таинстве – Евхаристии. С помощью богослужебных жанров эта реальность является людям, а они, в свою очеред ...