При получим числовой положительный ряд . Это ряд Дирихле с . Известно, что если , то ряд расходится. Значит, функциональный ряд в точке расходится.
При получим числовой знакочередующийся ряд вида . Он сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов, т.е. и : .
Ряд, составленный из абсолютных величин элементов ряда , имеет вид и является расходящимся.
Значит, функциональный ряд сходится условно в точке x=1.
Итак, область сходимости исследуемого функционального ряда . Абсолютно ряд сходится на интервале .
Ответ: .
Преподаватель: Последний вид заданий, который мы с вами сегодня рассмотрим, - на нахождение суммы функционального ряда.
Пример №8 (№14 из, с комментариями преподавателя).
Найти сумму ряда:
.
Решение
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:
.
Если , т.е. то функциональный ряд сходится абсолютно на интервале .
Если , т.е. , то исследуемый функциональный ряд расходится на указанных промежутках.
При функциональный ряд становится числовым положительным расходящимся рядом , так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. .
Значит, область абсолютной сходимости функционального ряда есть интервал .
Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости.
Если , то исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с . Сумму ряда будем определять по формуле:
.
При сумма ряда .
Образование, педагогика, воспитание:
Проблема сохранения здоровья подрастающего поколения
Конец XX столетия ознаменован целым комплексом глобальных изменений в социальной, экономической и духовной сферах общества, утратой ранее значимых ценностей и возникновением новых, формированием новой философии жизни. Человеческое сообщество захлестывает ускоряющийся динамизм социальных процессов, ...
Развитие творческой активности обучающихся в процессе освоения композиции
В настоящее время проблема формирования и развития творческой активности учащихся одна из актуальных в педагогической науке и практике. Она связана с потребностью современного общества в личности интеллектуальной, творческой,способной к преобразованию окружающей действительности, к самоорганизации, ...
История развития акварельной живописи
Акварель – одна из самых сложных и загадочных техник. Секрет ее, на первый взгляд, достаточно прост: растворенные в воде очень мелко растертые частицы пигмента создают прозрачный красочный слой, проницаемый для световых лучей, которые, отражаясь от белой поверхности бумаги, повышает интенсивность з ...