Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

При получим числовой положительный ряд . Это ряд Дирихле с . Известно, что если , то ряд расходится. Значит, функциональный ряд в точке расходится.

При получим числовой знакочередующийся ряд вида . Он сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов, т.е. и : .

Ряд, составленный из абсолютных величин элементов ряда , имеет вид и является расходящимся.

Значит, функциональный ряд сходится условно в точке x=1.

Итак, область сходимости исследуемого функционального ряда . Абсолютно ряд сходится на интервале .

Ответ: .

Преподаватель: Последний вид заданий, который мы с вами сегодня рассмотрим, - на нахождение суммы функционального ряда.

Пример №8 (№14 из, с комментариями преподавателя).

Найти сумму ряда:

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:

.

Если , т.е. то функциональный ряд сходится абсолютно на интервале .

Если , т.е. , то исследуемый функциональный ряд расходится на указанных промежутках.

При функциональный ряд становится числовым положительным расходящимся рядом , так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. .

Значит, область абсолютной сходимости функционального ряда есть интервал .

Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости.

Если , то исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с . Сумму ряда будем определять по формуле:

.

При сумма ряда .

Образование, педагогика, воспитание:

Проектная деятельность с использованием среды Лого Миры на уроках информатики и естествознания
Проектную деятельность учащихся можно построить на примере многих школьных предметов, используя различные способы планирования желаемых результатов и организации работы над проектом: сбор информации, экспериментальные и опытные работы, создание газеты, спектакля, видеофильма и др. Мы предлагаем пос ...

Гражданская активность и особенности ее формирования у учащихся школы надомного обучения
В настоящее время в России на государственном уровне признано, что гражданско-правовое образование является одним из приоритетных направлений образовательной политики. Существует программа воспитания демократической гражданственности и образования в области прав человека, принятая Советом Европы 15 ...

Значение обучения неслышащих детей устной речи
Определяя задачи обучения неслышащих детей произношению, прежде всего, следует напомнить о двоякой функции устной речи, которая, одной стороной, обращена к слушающему, а другой — к самому говорящему. От качества фонетического оформления речи глухого зависит (при прочих равных условиях) в какой степ ...