Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

При получим числовой положительный ряд . Это ряд Дирихле с . Известно, что если , то ряд расходится. Значит, функциональный ряд в точке расходится.

При получим числовой знакочередующийся ряд вида . Он сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов, т.е. и : .

Ряд, составленный из абсолютных величин элементов ряда , имеет вид и является расходящимся.

Значит, функциональный ряд сходится условно в точке x=1.

Итак, область сходимости исследуемого функционального ряда . Абсолютно ряд сходится на интервале .

Ответ: .

Преподаватель: Последний вид заданий, который мы с вами сегодня рассмотрим, - на нахождение суммы функционального ряда.

Пример №8 (№14 из, с комментариями преподавателя).

Найти сумму ряда:

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:

.

Если , т.е. то функциональный ряд сходится абсолютно на интервале .

Если , т.е. , то исследуемый функциональный ряд расходится на указанных промежутках.

При функциональный ряд становится числовым положительным расходящимся рядом , так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. .

Значит, область абсолютной сходимости функционального ряда есть интервал .

Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости.

Если , то исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с . Сумму ряда будем определять по формуле:

.

При сумма ряда .

Образование, педагогика, воспитание:

Классификация, виды и типы средств наглядности при обучении истории
При словесном описании на уроках истории событий и явлений прошлого в подавляющем числе случаев не имеется возможности опереться на непосредственное наблюдение учащимися предметов описания или повествования потому, что это явление уже прошедшее, недоступное живому, непосредственному восприятию обуч ...

Повышение квалификации
Вид профессионального обучения работников, имеющий целью повышение уровня их теоретических знаний, совершенствование практических навыков и умений. Повышение квалификации рабочих — это обучение, направленное на последовательное совершенствование их профессиональных и экономических знаний, умений и ...

Определение понятия речевой деятельности
Речь человека – сложившаяся исторически в процессе материальной преобразующей деятельности людей форма общения, опосредствованная языком. Речь является деятельностью, в процессе которой люди общаются друг с другом при посредстве языка. С помощью речи (внутренней и внешней) осуществляется также чело ...