Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

При получим числовой положительный ряд . Это ряд Дирихле с . Известно, что если , то ряд расходится. Значит, функциональный ряд в точке расходится.

При получим числовой знакочередующийся ряд вида . Он сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов, т.е. и : .

Ряд, составленный из абсолютных величин элементов ряда , имеет вид и является расходящимся.

Значит, функциональный ряд сходится условно в точке x=1.

Итак, область сходимости исследуемого функционального ряда . Абсолютно ряд сходится на интервале .

Ответ: .

Преподаватель: Последний вид заданий, который мы с вами сегодня рассмотрим, - на нахождение суммы функционального ряда.

Пример №8 (№14 из, с комментариями преподавателя).

Найти сумму ряда:

.

Решение

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можем записать:

.

Если , т.е. то функциональный ряд сходится абсолютно на интервале .

Если , т.е. , то исследуемый функциональный ряд расходится на указанных промежутках.

При функциональный ряд становится числовым положительным расходящимся рядом , так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. .

Значит, область абсолютной сходимости функционального ряда есть интервал .

Найдем сумму заданного функционального ряда на его области сходимости.

Если , то исследуемый ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с . Сумму ряда будем определять по формуле:

.

При сумма ряда .

Образование, педагогика, воспитание:

Урочные формы внеклассной работы
Прогулки, экскурсии и походы имеют большое образовательное и воспитательное значение, поскольку дети знакомятся с природой, родным краем и его достопримечательностями. Эти мероприятия содействуют совершенствованию навыков в ходьбе, беге и играх, закаляют организм и укрепляют здоровье детей, способс ...

Анализ передового педагогического опыта
Мировая педагогическая практика широко использует подвижные игры в процессе совершенствования физических навыков малышей. В Китае, Чехии, Германии, Японии, Финляндии и многих других стран подвижные игры являются одним из основных видов физической активности воспитанников детских садов. В России под ...

Урок истории в практике школы
В данной главе рассматривается современный урок истории на практике. Здесь изложены наблюдения и применяемые автором на практике, основные составляющие принципы и теоретические основы современного урока истории. В предыдущей главе рассматривались основные теоретические положения современного урока ...