Если , то получается числовой положительный ряд вида
. Он является расходящимся, так как
, следовательно,
.
Если , то элементы исходного функционального ряда меньше членов суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
. Для убывающей геометрической прогрессии
,
,
при
.
Значит, ряд сходится при
.
Следовательно, будет сходиться при и заданный функциональный ряд, т.е. областью сходимости является объединение интервалов -
.
Ответ: Область сходимости заданного функционального ряда - .
Первичное закрепление материала происходит при решении студентами у доски упражнений, подобных рассмотренным с преподавателем, к доске вызываются сразу 3-4 студента.
Пример №5 (№2 из, студент у доски с помощью преподавателя).
Найти область сходимости функционального ряда:
Решение
Определим формулу общего элемента заданного функционального ряда N.
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:
В соответствии с признаком Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда, если , т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.
При , т.е.
, исследуемый функциональный ряд расходится.
При x=3 функциональный ряд становится положительным числовым рядом вида . Этот ряд расходится, так как является гармоническим рядом
.
При х=-3 функциональный ряд становится знакочередующимся числовым рядом вида: .
По признаку Лейбница: а) ; б)
, так как
.
Значит, ряд сходится условно по признаку Лейбница.
Составим ряд из абсолютных величин членов ряда . Получим ряд
- это гармонический расходящийся ряд.
Значит, исходный функциональный ряд сходится абсолютно на интервале , а сходится условно на полуотрезке
.
Образование, педагогика, воспитание:
Дидактические
возможности компьютерной инструментальной среды ЛогоМиры
«Лого – инструмент для познания и развития собственного мышления, и в этом отличие этой среды от систем программирования, ориентированных в первую очередь на обеспечение наиболее эффективного использования аппаратуры». Программная среда Лого (ЛогоМиры) была разработана и реализована под руководство ...
Понятие предметно-развивающий среды и ее влияние на развитие игры-драматизации
в старшем дошкольном возрасте
Проблема среды рассматривалась в трудах М.Я. Басова, П.П. Блонского, А.Б. Залкина и других. Уже в 1927 году ставится вопрос о роли среды в процессе развития ребенка на первом педагогическом съезде, где были сделаны следующие выводы: Среда является лишь фактором, содействующим процессу развертывания ...
Здоровьесберегающие технологии в современной образовательной среде
Перед тем как рассмотреть здоровьесберегающие технологии, обратимся к понятию «здоровьесберегающее образование». Это образование, не вызывающее у субъектов образования (обучаемых и обучающих) специфических заболеваний, которые называются дидактогенией, выгоранием личности учителя, полураспадом за о ...