Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Если , то получается числовой положительный ряд вида . Он является расходящимся, так как , следовательно, .

Если , то элементы исходного функционального ряда меньше членов суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Для убывающей геометрической прогрессии , , при .

Значит, ряд сходится при .

Следовательно, будет сходиться при и заданный функциональный ряд, т.е. областью сходимости является объединение интервалов - .

Ответ: Область сходимости заданного функционального ряда - .

Первичное закрепление материала происходит при решении студентами у доски упражнений, подобных рассмотренным с преподавателем, к доске вызываются сразу 3-4 студента.

Пример №5 (№2 из, студент у доски с помощью преподавателя).

Найти область сходимости функционального ряда:

Решение

Определим формулу общего элемента заданного функционального ряда N.

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

В соответствии с признаком Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда, если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

При , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При x=3 функциональный ряд становится положительным числовым рядом вида . Этот ряд расходится, так как является гармоническим рядом .

При х=-3 функциональный ряд становится знакочередующимся числовым рядом вида: .

По признаку Лейбница: а) ; б) , так как .

Значит, ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда . Получим ряд - это гармонический расходящийся ряд.

Значит, исходный функциональный ряд сходится абсолютно на интервале , а сходится условно на полуотрезке .

Образование, педагогика, воспитание:

Средний этап обучения
Работа с аутентичным текстом организуется так, что упражнения перестают быть упражнениями, а становятся речевой ситуацией и выполняются часто в форме игры, в том числе ролевой, группами, индивидуально, коллективно. Рассмотрим технологию работы со следующими типами текстов: текст-образец; рассказ; п ...

Особенности двигательной активности мальчиков и девочек
Для педагога представляет интерес и такая закономерность, как различие в количественном и качественном отношении двигательной активности мальчиков и девочек. Заслуживает внимания и тот факт, что она ниже у вторых и составляет 70 – 80% суточных величин движений первых. Девочки меньше проявляют двига ...

Понятие и структура воспитательной системы и воспитательного процесса в исправительном учреждении
Воспитательный процесс в пенитенциарных учреждениях имеет своей целью исправление и перевоспитание лиц совершивших преступления, осужденных к лишению свободы. Этот процесс представляет собой весьма сложную систему мер, осуществляемых по отношению к осужденным, отбывающим наказание в виде лишения св ...