Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Если , то получается числовой положительный ряд вида . Он является расходящимся, так как , следовательно, .

Если , то элементы исходного функционального ряда меньше членов суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Для убывающей геометрической прогрессии , , при .

Значит, ряд сходится при .

Следовательно, будет сходиться при и заданный функциональный ряд, т.е. областью сходимости является объединение интервалов - .

Ответ: Область сходимости заданного функционального ряда - .

Первичное закрепление материала происходит при решении студентами у доски упражнений, подобных рассмотренным с преподавателем, к доске вызываются сразу 3-4 студента.

Пример №5 (№2 из, студент у доски с помощью преподавателя).

Найти область сходимости функционального ряда:

Решение

Определим формулу общего элемента заданного функционального ряда N.

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

В соответствии с признаком Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда, если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

При , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При x=3 функциональный ряд становится положительным числовым рядом вида . Этот ряд расходится, так как является гармоническим рядом .

При х=-3 функциональный ряд становится знакочередующимся числовым рядом вида: .

По признаку Лейбница: а) ; б) , так как .

Значит, ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда . Получим ряд - это гармонический расходящийся ряд.

Значит, исходный функциональный ряд сходится абсолютно на интервале , а сходится условно на полуотрезке .

Образование, педагогика, воспитание:

Система образования Новой Зеландии
До 1907 года Новая Зеландия оставалась британской колонией, поэтому английское влияние чувствуется здесь во всем, даже в системе образования, построенной по британской модели. Иностранцам нравится учиться в этой стране. Каждый год сюда приезжают около 30 тыс. студентов из-за рубежа. В Новой Зеланди ...

Понятие и структура имиджа современного учителя
Термин "имидж" широко трактуется, но надо отметить, что до сих пор нет однозначного его толкования. Так физический имидж – это здоровье, стиль одежды, прически и макияжа. Психологический имидж - характер, темперамент, внутренний мир. Социальный имидж - роль в обществе, поведение и коммуни ...

Сущность педагогического общения
Педагогическое общение — это особый вид общения, оно является «категорией профессиональной». Оно всегда обучающее, развивающее и воспитывающее. Общение ориентировано на развитие личности общающихся сторон, их взаимоотношений. Педагогическое общение — процесс динамичный: с возрастом воспитанников из ...