Электронное пособие по теме “Функциональные последовательности и ряды"

Если , то получается числовой положительный ряд вида . Он является расходящимся, так как , следовательно, .

Если , то элементы исходного функционального ряда меньше членов суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Для убывающей геометрической прогрессии , , при .

Значит, ряд сходится при .

Следовательно, будет сходиться при и заданный функциональный ряд, т.е. областью сходимости является объединение интервалов - .

Ответ: Область сходимости заданного функционального ряда - .

Первичное закрепление материала происходит при решении студентами у доски упражнений, подобных рассмотренным с преподавателем, к доске вызываются сразу 3-4 студента.

Пример №5 (№2 из, студент у доски с помощью преподавателя).

Найти область сходимости функционального ряда:

Решение

Определим формулу общего элемента заданного функционального ряда N.

По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:

В соответствии с признаком Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда, если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.

При , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.

При x=3 функциональный ряд становится положительным числовым рядом вида . Этот ряд расходится, так как является гармоническим рядом .

При х=-3 функциональный ряд становится знакочередующимся числовым рядом вида: .

По признаку Лейбница: а) ; б) , так как .

Значит, ряд сходится условно по признаку Лейбница.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда . Получим ряд - это гармонический расходящийся ряд.

Значит, исходный функциональный ряд сходится абсолютно на интервале , а сходится условно на полуотрезке .

Образование, педагогика, воспитание:

Проблема сохранения здоровья подрастающего поколения
Конец XX столетия ознаменован целым комплексом глобальных изменений в социальной, экономической и духовной сферах общества, утратой ранее значимых ценностей и возникновением новых, формированием новой философии жизни. Человеческое сообщество захлестывает ускоряющийся динамизм социальных процессов, ...

Методические рекомендации по проведению лекционных занятий
Курс "Математический анализ" входит в блок дисциплин предметной подготовки и занимает важное место среди них в процессе подготовки будущих педагогов - математиков. Целью курса является научное обоснование тех, относящихся к нему понятий, первое представление о которых дается в школе. Курс ...

Содержание элективных курсов по математике
Содержание элективных курсов определено программой, разработанной учителем и предусматривает изучение разделов: «Избранные вопросы математики», «Математика в приложениях» и др. К программе прилагается список литературы, рекомендованный для изучения темы элективного курса, а также примерное содержан ...