Если , то получается числовой положительный ряд вида . Он является расходящимся, так как , следовательно, .
Если , то элементы исходного функционального ряда меньше членов суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Для убывающей геометрической прогрессии , , при .
Значит, ряд сходится при .
Следовательно, будет сходиться при и заданный функциональный ряд, т.е. областью сходимости является объединение интервалов - .
Ответ: Область сходимости заданного функционального ряда - .
Первичное закрепление материала происходит при решении студентами у доски упражнений, подобных рассмотренным с преподавателем, к доске вызываются сразу 3-4 студента.
Пример №5 (№2 из, студент у доски с помощью преподавателя).
Найти область сходимости функционального ряда:
Решение
Определим формулу общего элемента заданного функционального ряда N.
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:
В соответствии с признаком Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда, если , т.е. , то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.
При , т.е. , исследуемый функциональный ряд расходится.
При x=3 функциональный ряд становится положительным числовым рядом вида . Этот ряд расходится, так как является гармоническим рядом .
При х=-3 функциональный ряд становится знакочередующимся числовым рядом вида: .
По признаку Лейбница: а) ; б) , так как .
Значит, ряд сходится условно по признаку Лейбница.
Составим ряд из абсолютных величин членов ряда . Получим ряд - это гармонический расходящийся ряд.
Значит, исходный функциональный ряд сходится абсолютно на интервале , а сходится условно на полуотрезке .
Образование, педагогика, воспитание:
Методические аспекты изучения персоналий в школьном курсе истории
Главный элемент содержания исторического образования – знания. Они включают в себя сведения, познания в области истории, концентрируя социальный опыт человечества. Знания создают научную картину развития общества, дают представление об исторической действительности и предполагают постижение её чело ...
Механизм речи в концепции Н.И. Жинкина
Н.И. Жинкиным выявлено, что порождение и восприятие речи являются процессами поэтапной реализации внутренней программы, которая управляется речевым механизмом. Вне зависимости от трактовки речи как говорения или как процесса общения посредством говорения и слушания, закономерности функционирования ...
Коммуникативно-прагматические составляющие межкультурной компетенции
К числу значимых тенденций, особенно характерных для современной эпохи, относится тенденция к глобализации. Для большинства людей глобальность – не состояние, а потенциал. В начале XXI в. человечество существует не в мировом обществе без границ, но во множестве параллельных, пересекающихся реальнос ...